Бифуркация Андронова-Хопфа Мягкое возбуждение автоколебаний Жесткое возбуждение автоколебаний Система в полярных координатах: r' = r(c - r 2) φ' = 2π r' = r(c + 2 r 2 - r 4) φ' = 2π Замена переменных: x = r cos(φ) y = r sin(φ) Система в декартовых координатах: x' = x(c - (x 2+y 2)) - 2πy y' = y(c - (x 2+y 2)) + 2πx x 2+y 2 = r 2 y/x = tg(φ) Система в декартовых координатах: x' = x(c +2(x 2+y 2) - (x 2+y 2)2) - 2πy y' = y(c +2(x 2+y 2) - (x 2+y 2)2) + 2πx
Мягкое возбуждение автоколебаний увеличение параметра с с = - 0. 1 с = 0. 3 с = 0. 7 уменьшение параметра с с = 0. 7 начальные условия: x = 0. 1, y = 0 с = 1. 1 начальные условия: x = 1. 1, y = 0 с = 1. 1 Жесткое возбуждение автоколебаний с = - 1. 1 с = - 0. 7 увеличение параметра с с = - 0. 3 начальные условия: x = 0. 1, y = 0 с = 0. 1 с = - 0. 7 уменьшение параметра с с = - 0. 3 начальные условия: x = 1. 5, y = 0 с = 0. 1
Бифуркация Андронова-Хопфа (мягкое возбуждение автоколебаний) Система в полярных координатах: Замена переменных: Система в декартовых координатах: x = r cos(φ) y = r sin(φ) r' = r(c - r 2) φ' = 2π x' = x(c - (x 2+y 2)) - 2πy y' = y(c - (x 2+y 2)) + 2πx x 2+y 2 = r 2 y/x = tg(φ) Стационарные режимы: c<0 устойчивый фокус r 1 = 0 - r 2 = c 1/2 неустойчивый фокус устойчивый предельный цикл y y x c = - 0. 5 начальные c>0 условия: в прямом времени, t =10 в обратном времени, t = -10 x 1 = 0. 4 y 1 = 0 уст. фокус r 1 = 0 x 2 = 0. 8 y 2 = 0 уст. фокус r 1 = 0 x c = 0. 5 начальные условия: в прямом времени, t =10 в обратном времени, t = -10 x 1 = 0. 4 y 1 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 0. 71 неуст. фокус r 1 = 0 x 2 = 0. 8 y 2 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 0. 71
Субкритическая бифуркация (жесткое возбуждение автоколебаний) Система в полярных координатах: Замена переменных: Система в декартовых координатах: x = r cos(φ) y = r sin(φ) r' = r(c + 2 r 2 - r 4) φ' = 2π x' = x(c +2(x 2+y 2) - (x 2+y 2)2) - 2πy y' = y(c +2(x 2+y 2) - (x 2+y 2)2) + 2πx x 2+y 2 = r 2 y/x = tg(φ) Стационарные режимы: c < -1 -1 < c < 0 устойчивый фокус r 1 = 0 c>0 устойчивый фокус неустойчивый фокус r 2 = (1 - (1 + c)1/2 - неустойчивый предельный цикл r 3 = (1 + c)1/2 - устойчивый предельный цикл x c = - 1. 5 начальные устойчивый предельный цикл y y y - c = - 0. 5 x x c = 0. 1 в обратном времени, t = -10 начальные в прямом времени, t =10 в обратном времени, t = -10 начальные условия: в прямом времени, t =10 в обратном времени, t = -10 уст. фокус r 1 = 0 x 1 = 0. 45 y 1 = 0 уст. фокус r 1 = 0 неуст. пред. цикл, r 2 ~ 0. 54 x 1 = 0. 45 y 1 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 1. 43 неуст. фокус r 1 = 0 x 2 = 0. 6 y 2 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 1. 31 неуст. пред. цикл, r 2 ~ 0. 54 x 2 = 0. 6 y 2 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 1. 43 неуст. фокус r 1 = 0 x 3 = 1. 5 y 3 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 1. 31 x 3 = 1. 5 y 3 = 0 уст. пред. цикл, r 3 ~ 1. 43 условия: в прямом времени, t =10 x 1 = 0. 45 y 1 = 0
Изменение амплитуды предельного цикла (мягкое возбуждение автоколебаний) y с = -0. 1 с = 0. 3 t =20 (жесткое возбуждение автоколебаний) y с = -1. 1 с = -0. 9 с = -0. 7 с = 0. 5 с = 0. 7 с = -0. 5 с = -0. 3 x x начальные условия значение параметра с r=0 x = 0. 2, y = 0 с = -1. 1 r=0 с = 0. 1 r ~ 0. 32 x = 1. 1, y = 0 с = -0. 9 r ~ 1. 15 x = 0. 5, y = 0 с = 0. 3 r ~ 0. 55 x = 1. 2, y = 0 с = -0. 7 r ~ 1. 24 x = 0. 7, y = 0 с = 0. 5 r ~ 0. 71 x = 1. 3, y = 0 с = -0. 5 r ~ 1. 31 x = 0. 8, y = 0 с = 0. 7 r ~ 0. 84 x = 1. 35, y = 0 с = -0. 3 r ~ 1. 36 начальные условия значение параметра с x = 0. 2, y = 0 с = -0. 1 x = 0. 3, y = 0 радиус предельного цикла r = c 1/2 При постепенном увеличении параметра с: В точке r = 0 устойчивый фокус (при с<0) становится неустойчивым (при с>0), возникает устойчивый предельный цикл с малой амплитудой. Амплитуда цикла постепенно увеличивается. радиус предельного цикла r = (1 + c)1/2 При постепенном увеличении параметра с: В точке r = 0 устойчивый фокус (при с<-1) остается устойчивым (при с>-1), скачкообразно возникают устойчивый предельный цикл с большой амплитудой и неустойчивый предельный цикл.
y x
y x
Скачать презентацию Бифуркация Андронова-Хопфа Мягкое возбуждение автоколебаний Жесткое возбуждение автоколебаний
bifur_cycle.ppt