Безрукова Т. В. Инженерная графика Лекция 5 МНОГОГРАННИКИ 2012 1
План лекции 1. 2. 3. 4. Способы задания многогранников и построение их проекций. Пересечение плоскости и прямой с многогранниками. Взаимное пересечение многогранников. Аксонометрические проекции Лекция: «Позиционные задачи. Многогранники 2
Способы задания многогранников и построение их проекций Поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей – гранями, называется гранной. Многогранник представляет собой тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Призмой называют многогранник, у которого основания - два многоугольника, одинаковых и взаимно параллельных, а боковые грани – параллелограммы. Если ребра у призмы перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность называют проецирующей. Пирамидой называют многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани – треугольники с общей вершиной S. На комплексном чертеже многогранники задают проекциями вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребер определяют методом конкурирующих точек. Выбирая положение пирамиды или призмы для их изображения, целесообразно располагать их основания параллельно плоскости проекций. Примеры. Здесь в системе плоскостей проекций П 1, П 2 изображены трехгранная пирамида, прямая и наклонная призмы.
Определение точек на поверхности многогранника Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью прямой линии, проходящей через эту точку. (точка и прямая линия на поверхности многогранника строится так же, как и в плоскости)
Пересечение плоскости и прямой с многогранниками При пересечении многогранника плоскостью в общем случае получается плоский многоугольник АВСD. Этот многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Следовательно, задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. Первый способ на практике применяется чаще второго. Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением.
Примеры 1. Построение проекции фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально проецирующей плоскостью Φ (Φ 2). Фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с секущей плоскостью (фронтальными проекциями вершин фигуры сечения) являются точки 122232. Их горизонтальные проекции 112131 определены при помощи линий связи. Фронтальной проекцией фигуры сечения в данном примере является отрезок 122232, совпадающий с фронтальным следом плоскости Ф, а горизонтальной – треугольник 112131.
2. На рисунке построены проекции фигуры сечения четырехгранной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Здесь, как и в предыдущем примере, фронтальная проекция сечения 12223242 изображается отрезком прямой, совпадающим с фронтальным следом плоскости Г. Горизонтальная проекция сечения 11213141 находится по линиям связи.
Если многогранник пересекает плоскость общего положения, то для определения линии пересечения необходимо воспользоваться некоторыми дополнительными вспомогательными построениями. Эти построения можно выполнять двумя способами: а) метод ребер – нахождение точек пересечения ребер многогранника с плоскостью, т. е. нахождение вершин многогранника, получающегося в сечении; б) метод граней – нахождение линий пересечения граней многогранника с секущей плоскостью, т. е. нахождение сторон сечения. 3. На рисунке линия пересечения призмы ABC с плоскостью общего положения Ф построена с использованием метода ребер. Горизонтальный след Ф 1 проходит по нижнему основанию, следовательно, он пересекает нижнее основание по прямой 1121. Ребро А находится перед плоскостью и не пересекается с ней. Через ребра призмы B и C проводим фронтальные плоскости Г и Θ и строим линии пересечения вспомогательных плоскостей с плоскостью Φ. Фронтальные проекции ребер будут пересекаться с проекциями линий пересечения плоскостей в точках встречи их с плоскостью Ф.
5. Метод граней используется когда необходимо построить сечение призмы ABC плоскостью общего положения Ф (а∩b). Заключаем грани AB и BC в горизонтально-проецирующие плоскости Г, Θ и строим линии пересечения данных плоскостей с плоскостью Ф. В пределах граней AB и BC эти линии являются сторонами многоугольника, получаемыми при пересечении плоскостью Ф призмы ABC.
6. На рисунке построены проекции сечений плоскостью Ф наклонной призмы. Для нахождения проекций сечения заключаем поочередно ребра призмы во фронтально-проецирующие плоскости Г, Θ, Σ и находим точки встречи ребер с плоскостью Ф. Полученные точки 1, 2, 3 соединяем ломаной линией и определяем видимость.
7. На рисунке построены проекции сечения плоскостью Ф (ΔABC) пирамиды. Задача решена нахождением точек встречи (точек 3, 6, 9) каждого ребра пирамиды с секущей плоскостью. Чтобы найти точку (3) встречи ребра FS с секущей плоскостью (ΔABC), через ребро необходимо провести вспомогательную фронтальнопроецирующую плоскость Г, построить линию пересечения 1, 2 с секущей плоскостью Ф (ΔABC) и в пересечении горизонтальной проекции линии пересечения с горизонтальной проекцией ребра FS отметить горизонтальную проекцию искомой точки 3. Фронтальная проекция точки 3 построена при помощи линии связи. Точка 9 построена аналогично. Для нахождения точки встречи ребра ES с плоскостью Ф (ΔABC) ребро заключаем во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Θ. Соединив точки 3, 6, 9, находим искомое сечение.
Прямая линия может пересекать поверхность многогранника в двух точках при условии, что многогранник выпуклый. Решение этой задачи основано на схеме определения точки пересечения прямой с плоскостью и распадается на три этапа: 1) через заданную прямую проводится вспомогательная плоскость; 2) строится проекция фигуры сечения многогранника; 3) определяются точки пересечения прямой с контуром сечения. Примеры: 1. На рисунке построены точки M (М 1, М 2) и N (N 1, N 2) пересечения прямой l с поверхностью пирамиды SABC.
2. На рис. 8. 12 построены точки R (R 1, R 2) и S (S 1, S 2) пересечения прямой k с поверхностью наклонной призмы.
Взаимное пересечение многогранников Многогранные поверхности пересекаются друг с другом по замкнутым ломаным линиям, для построения которых сначала находим точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, а затем ребер второго с гранями первого. Соединяя в определенной последовательности полученные точки, строим искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней – грани первого многогранника с гранью второго. Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником (или на взаимное пересечение двух плоскостей – граней многогранников).
Построение линии пересечения Пример построения линии взаимного пересечения прямой четырехугольной призмы с пирамидой SABC. Основание призмы совмещено с плоскостью П 1. Горизонтальные проекции вертикальных ребер преобразуются в точки. Грани боковой поверхности призмы представляют собой отсеки горизонтально-проецирующих плоскостей. Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника. Так, ребро SA (S 1 A 1, S 2 A 2) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы: одну в точке 1 (11 12), вторую – в точке 2 (21 22). Ребро SB (S 1 B 1, S 2 B 2) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы в точках 3 (31 32) и 4 (41 42); ребро SC (S 1 C 1, S 2 C 2) – в точках 5 (51 52) и 6 (61 62). Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пирамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину S (S 1, S 2) пирамиды проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф. Она пересекает пирамиду по прямым DS (D 1 S 1, D 2 S 2) и ES (E 1 S 1, E 2 S 2). Эти прямые пересекают ребро призмы в точках 7 (71 72) и 8 (81 82) – в точках пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 138571 (113181517111, 123282527212), другая – треугольник 246 (214161, 224262).
Определение видимости Видимыми являются только те из отрезков многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников; невидимые отрезки обозначаем на эпюре штриховыми линиями. Отрезки 24 (2141, 2242) и 26 (2161, 2262) линии пересечения 246 (214161, 224262) видимы на фронтальной проекции. Они принадлежат видимым граням призмы и пирамиды. Отрезок 46 (4161, 4262) является невидимым на фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой на этой проекции грани призмы и невидимой грани пирамиды. На фронтальной проекции видимы отрезки 13 (1131, 1232) и 17 (1171, 1272) второй линии пересечения, а отрезки 38 (3181, 3282), 85 (8151, 8252) и 75 (7151, 7252) этой линии невидимы.
Аксонометрические проекции В переводе с греческого языка слово «аксонометрия» означает измерение по осям. Особенностью аксонометрического проецирования является то, что вместе с фигурой на плоскость проецируется и пространственная система координат, связанная с этой фигурой. При этом ни одна из осей системы координат не проецируется в точку. Использование аксонометрического проецирования позволяет повысить наглядность изображения фигуры. Точка A и пространственная система координат Oxyz связаны координатной ломаной ОAx. A 1 A, звеньями которой являются координатные отрезки OAx = x. A , Ax. A 1 = y. A , A 1 A = z. A. Плоскость П' – аксонометрическая плоскость, s – направление проецирования. Все проецирующие прямые параллельны s. Если прямая s не перпендикулярна П', то имеем косоугольное проецирование и получим косоугольную аксонометрическую проекцию. Если прямая s перпендикулярна П', то имеем ортогональное проецирование и получим ортогональную (прямоугольную) аксонометрическую проекцию. В дальнейшем рассматривается ортогональное проецирование и ортогональные аксонометрические проекции.
Виды аксонометрических проекций При построении аксонометрических проекций необходимо учитывать, что отрезки, лежащие на осях натуральной системы координат (или им параллельные), на плоскости П´ отображаются с искажением. Отношения аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине характеризуют коэффициентами искажения по осям. Натуральные коэффициенты искажения обозначают так: по оси О´x´ – u, по оси О´у´ – v, по оси О´z´ – w. В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения различают три вида аксонометрических проекций: изометрия (u = v = w); диметрия (u = v w, v = w u, u = w v); триметрия (u v w).
Доказано, что расположение аксонометрических осей и коэффициенты искажения по ним могут быть выбраны произвольно. При этом существует следующая зависимость между коэффициентами искажения и направлением проецирования s: u 2 + v 2 + w 2 = 2 + ctg 2 φ, (1) где φ – угол между направлением проецирования s и плоскостью П´. Для прямоугольной аксонометрии зависимость (1) имеет вид u 2 + v 2 + w 2 = 2. (2) Тогда в прямоугольной изометрии u = v = w = 0, 82, а в 0, 82 прямоугольной диметрии один коэффициент будет равен 0, 47, а два других – 0, 94. 0, 47 0, 94
Аксонометрические изображения ГОСТ 2. 317 -69 “Аксонометрические проекции” устанавливает пять видов аксонометрических проекций, рекомендованных для использования в чертежах всех отраслей промышленности и строительства: а – прямоугольная изометрия; б – прямоугольная диметрия; в – фронтальная изометрия; г – горизонтальная изометрия; д – фронтальная диметрия.
Построение аксонометрической проекции точки
Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция В стандартной прямоугольной изометрии в целях исключения вычислительных операций коэффициенты искажения по аксонометрическим осям принимают равными U = V = W = 1. Использование приведенных к единице коэффициентов искажения увеличивает аксонометрическое изображение в 1, 22 раза, т. е. его отношение к натуральной величине составляет 1, 22: 1. Координатные оси в прямоугольной изометрии располагаются под углом 120 о друг к другу. Комплексный чертеж куба со срезанной вершиной.
Комплексный чертеж кривой Так можно построить изометрию любой кривой, но для построения изометрии окружности удобно использовать специальные методы.
Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция В стандартной прямоугольной диметрии оси располагаются, как показано на рисунке. Приведенные коэффициенты искажения U = W = 1, V = 0, 5. Масштаб изображения в этом случае равен 1, 06: 1. Диметрия куба со срезанной вершиной
Построение изометрии шестиугольной призмы с цилиндрическим отверстием.
Обозначение положения осей X, Y, Z на комплексном чертеже
Построение шестиугольника в основании призмы
Построение призмы и отверстия
Скачать презентацию Безрукова Т В Инженерная графика Лекция 5 МНОГОГРАННИКИ
Лекция 5. ХТ формат 2003.ppt