Бесконечные антагонистические игры Лектор доцент каф АОИ Салмина

Бесконечные антагонистические игры Лектор: доцент каф. АОИ Салмина Нина Юрьевна

Понятие бесконечной игры Нормальная форма игры: Г = <X, Y, J> X – множество чистых стратегий 1 -го игрока Y – множество чистых стратегий 2 -го игрока J – функция выигрыша 1 -го игрока Принцип оптимальности:

Игры на единичном квадрате Антагонистические игры, в которых оба игрока имеют континуум чистых стратегий, называются играми на единичном квадрате Примеры: Г = < [0, 1], J(x, y) > Г = < [-2, 2], [0, 10], J(x, y) > Г = < [2, 4], [-1, 0], J(x, y) > Если функция выигрыша J(x, y) непрерывна по обеим переменным, то игра имеет решение в смешанных стратегиях

Понятие смешанной стратегии Смешанная стратегия игрока 1 (2) есть вероятностное распределение на множестве 2 x (2 y ) – множество всех подмножеств X (Y) Примеры смешанных стратегий:

Выпуклые и вогнутые функции Функция выпукла, если Функция вогнута, если

Выпуклые и вогнутые игры Игра на единичном квадрате называется выпуклой (вогнутой), если J(x, y) выпукла по y (вогнута по x). Игра на единичном квадрате вогнуто-выпукла, если ее функция выигрыша вогнута по x при каждом значении y и выпукла по y при каждом значении x. В выпуклой игре у второго (минимизирующего) игрока имеется чистая оптимальная стратегия. В вогнутой игре у первого (максимизирующего) игрока имеется чистая оптимальная стратегия. В вогнуто-выпуклой игре существует седловая точка в чистых стратегиях.

Решение вогнуто-выпуклых игр Функция выигрыша вогнута по х Функция выигрыша выпукла по y Оба игрока имеют решение в чистых стратегиях (можно использовать любой критерий)

Пример 1 Проверяем игру на выпуклость/вогнутость: - игра вогнута - игра выпукла Выбираем минимаксный критерий:

Пример 1 (продолжение) Выбираем максиминный критерий:

Решение вогнутых/выпуклых игр Критерий выпуклой / вогнутой игры: Существенные стратегии игроков: Решение Оптимальная чистая стратегия Оптимальная смешанная стратегия выпуклой вогнутой игры

Теорема поиска решения в выпуклых играх Пусть в выпуклой игре функция выигрыша J(x, y) дифференцируема по y, а y* — чистая оптимальная стратегия 2 -го игрока. Тогда: 1) если y*=1 то среди оптимальных стратегий 1 -го игрока существует чистая существенная стратегия x 1 такая, что 2) если y*=0 то среди оптимальных стратегий 1 -го игрока существует чистая существенная стратегия х2 такая, что 3) если 0<y*<1 то среди оптимальных смешанных стратегий 1 -го игрока существует такая, которая является смесью существенных стратегий x 1, x 2, и для них выполняются неравенства При этом стратегии употребляются с вероятностями α и (1 -α) соответственно, где α — решение уравнения: Оптимальную стратегию в этом случае будем обозначать:

Пример 2 Проверяем игру на выпуклость/вогнутость: - игра НЕ вогнута (ф. выигрыша выпукла по Х) - игра выпукла Выбираем минимаксный критерий: Максимум по Х достигается на одной из границ интервала [0, 1], в зависимости от Y:

Пример 2 Построим графики функций: J 1. 5 Используем минимаксный критерий: J(1, y) 1 J(0, y) 0. 5 V 0 y* 1 y

Пример 2 Найдем существенные стратегии:

Пример 2 Найдем существенные стратегии: Вероятности выбора стратегий:

Пример 2 Решение игры: Оптимальная стратегия 1 -го игрока: Оптимальная стратегия 2 -го игрока: Цена игры:

Пример 3 Проверяем игру на выпуклость/вогнутость: - игра вогнута - игра НЕ выпукла (ф. выигрыша вогнута по Y) Выбираем максиминный критерий: Минимум по Y достигается на одной из границ интервала [0, 3], в зависимости от X:

Пример 3 Построим графики функций: J 0 Используем максиминный критерий: -5 x* 1 J(x, 0) V -45 -47 J(x, 3) x

Пример 3 Определим существенные стратегии: J 0 -5 x* 1 J(x, 0) Решение игры: V -45 -47 J(x, 3) x

Примеры простых решений 1. 2.