Beskonačnost Franka Miriam Brückler za SS HKD-a 9

Beskonačnost Franka Miriam Brückler za SS HKD-a 9. 6. 2009. Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.

Što znači da nečega ima beskonačno mnogo? • Očito: da ga nema konačno mnogo • Ali, što onda znači da nečeg ima konačno mnogo?

Malo povijesti matematike beskonačnosti • Zenon iz Eleje 5. st. pr. Kr. njegovi paradoksi – prvi pokušaji matematičkog pristupa beskonačnosti • Aristotel – potencijalna vs. aktualna beskonačnost • Bhaskara II 11. st. • Galileo 17. st. • znak : John Wallis 1655. • taj simbol ne označava nikakvu određenu veličinu – smisao je više: neograničenost

Što to razlikuje beskonačan skup od konačnog? • možemo izvaditi neke elemente iz beskonačnog skupa bez da se pritom smanji njegova veličina – Bernhard Bolzano 1840 -ih • drugim riječima: beskonačan skup se može staviti u bijekciju s nekim svojim pravim podskupom, a konačan ne

U hotelu s beskonačno soba uvijek ima mjesta za još jednoga! • • • sobe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . . dođe novi gost. . . 1 ode u 2, 2 ode u 3, 3 ode u 4 itd. novi gost stane u sobu 1! zapravo, ima mjesta za bilo koji konačan broj gostiju! • da ste portir u takvom hotelu, što biste učinili da dođe 243 novih gostiju?

A što s beskonačno mnogo novih gostiju? • svi gosti iz jednog takvog hotela poslani u drugi • imate li prijedlog za jadnog portira? • a što ako se zatvori beskonačno mnogo takvih hotela?

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3. 3. 1845. St. Petersburg – 6. 1. 1918. Halle

Bijekcije ● bijekcija je funkcija sa svojstvom: svaki element kodomene pridružen je točno jednom elementu domene ל כ י ט ח ז ו ה ד ג ב א ● ●

A ima jednako mnogo elemenata kao i B ako postoji bijekcija među njima!

Jesu li sve beskonačnosti jednako velike? • skupovi prirodnih brojeva, cijelih brojeva i racionalnih brojeva imaju jednako mnogo elemenata • ne vjerujete? • skup ima jednako mnogo elemenata kao skup prirodnih brojeva ako se njegove elemente može nabrojati u nizu

N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . Z: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, . . Q+: ? !

Realnih brojeva ima više! 0 1 - + Pretpostavimo: 0, 1 = {r 1 , r 2 , r 3 , . . . } r 1 = 0. 5 1 0 5 1 1 0. . . r 2 = 0. 4 1 3 2 0 4 3. . . r 3 = 0. 8 2 4 5 0 2 6. . . r 4 = 0. 2 3 3 0 1 2 6. . . r 5 = 0. 4 1 0 7 2 4 6. . . r 6 = 0. 9 9 3 7 8 3 8. . . r 7 = 0. 0 1 0 5 1 3 5. . . r=0. 4555554. . .

Kardinalni brojevi ● ● ● ● ● konačno – prebrojivo – neprebrojivo kardinalni broj zbroj kardinalnih brojeva a i b je kardinalni broj unije dva skupa od kojih jedan ima kardinalni broj a, a drugi ima kardinalni broj b i nemaju zajedničkih elemenata konačni kardinalni brojevi = prirodni brojevi s nulom koliko ima prirodnih brojeva? ( 0א najmanji beskonačni kardinalni broj) koliko ima realnih brojeva? c n + 0א =0א +0א =0א · 0א <0א c

Kronecker kontra Cantora Leopold Kronecker, 7. 12. 1823. Liegnitz, Pruska – 29. 12. 1891. Berlin What good your beautiful proof on [the transcendence of] π? Why investigate such problems, given that irrational numbers do not even exist? Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. konstruktivizam: postoje samo oni matematički objekti za koje postoji konačan postupak njihove konstrukcije

Dužina ima točaka koliko i kvadrat! 0, 1] ima elemenata kao i 0, 1]× 0, 1] x = 0 , | 5 | 1 | 01 | 002 |. . . x = 0 , |k 1|k 2|k 3|. . . x (y, z) y = 0 , |k 2|k 4|k 6|. . . = 0, 11002. . . z = 0 , |k 1|k 3|k 5|. . . = 0, 50501. . . Je le vois, mais je ne le crois pas!

Partitivni skup • skup svih podskupova nekog skupa S • oznaka P(S) • prazan skup je podskup svakog skupa pa i samog sebe prazan skup je u P(S) za svaki skup S • ako x S, onda { x } P(S)

Osnovni teorem teorije skupova • skup uvijek ima (strogo) manje elemenata nego njegov partitivni skup • za konačne skupove očito, ali vrijedi i za beskonačne • lako: skup ne može imati više elemenata od svog partitivnog skupa • S = { ♠, ♣, ♥, ♦, . . . } • P(S) = { , {♠}, {♣}, {♥}, {♦}, . . . } • formalno pišemo • npr.

Aritmetika kardinalnih brojeva • produkt kardinalnih brojeva se definira preko Cartesiusovog produkta skupova • zbroj ili produkt dva beskonačna broja jednak je većem od njih • oduzimanje i dijeljenje nije smisleno, npr. • 2 + 0א + 91 = 0א • potenciranje se definira preko skupova funkcija

Alefi i betovi • najmanji beskonačni broj je 0א • sljedeći veći se označava s , 1א sljedeći veći od njega s 2א itd. • s druge strane: . . . , ב 2 = 2ב , ב 2 = 1ב , 0א = 0ב • imamo dakle dva beskonačna rastuća “niza” beskonačnih brojeva – alefi i betovi • budući je 1א najmanji koji je veći od , 0א a po Cantorovom teoremu je 1ב veći od , 0א zaključujemo: 1ב ≤ 1א 0 1

Hipoteza kontinuuma • realnih brojeva ima više nego prirodnih • postoji li skup koji ima više elemenata nego skup prirodnih, a manje nego skup realnih brojeva? • hipoteza (Cantor): ne! • dokaz: nemoguć! (Cohen, 1963. ) • dokaz da nema takvog skupa: isto nemoguć! (Gödel, 1939. )

Paradoksi • skup svih skupova ? ! A stupid man's report of what a clever (Cantor, 1899. ) man says can never be accurate, because he unconsciously translates • brijač koji brije sviju koji what he hears into something he can understand. ne briju sami sebe – Russell 1902. • {x : x x} ne postoji • što sad? je li Kronecker bio u pravu? • odgovor: aksiomatizacija! A Proctor without a Wig George Moutard Woodward (ca. 1760 -1809)

2+3=5 • • 0 = kardinalni broj praznog skupa 1 = kardinalni broj skupa {0} 2 = kardinalni broj skupa {0, 1} = 1 {1} 3 = kardinalni broj skupa {0, 1, 2} = 2 {2} 4 = kardinalni broj skupa {0, 1, 2, 3} = 3 {3} 5 = kardinalni broj skupa {0, 1, 2, 3, 4} = 4 {4} itd. n + 1 = n {n} 2 + 3 = kardinalni broj unije disjunktnih skupova kardinalnog broja 2 i kardinalnog broja 3

2 = {0, 1} 3 = {0, 1, 2} { , } { , , } = { , , } 5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Par zadataka za kraj • što mislite, koliko ima kompleksnih brojeva? a kvadrata prirodnih brojeva? a prostih brojeva? • koliko je c + ? 0א a 2 ? 0א • koliko ima svih mogućih (ne nužno smislenih) kemijskih formula? • koliko ima decimalnih brojeva s konačno mnogo znamenaka? • možete li smisliti neki geometrijski objekt koji sadrži beskonačno mnogo točaka, ali ima konačnu (nenul) duljinu/površinu/volumen! a možete li izmisliti skup s konačno mnogo točaka koji ima duljinu/površinu/volumen različitu od nule?