Белорусский государственный медицинский университет Кафедра медицинской и биологической физики ЛЕКЦИЯ 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Курс медицинской и биологической физики для лечебного, педиатрического. медико-профилактического и военно-медицинского факультетов Курс физики и биологической физики для фармацевтического факультета 1
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. • Большинство процессов в природе обладает периодичностью. • Колебаниями называют движения, повторяющиеся через определенные промежутки времени 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. Колебания являются гармоническими, когда колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса: х = А· sin ( ·t + 0 ) (1) для механических колебаний: х – мгновенное смещение тела от положения равновесия, А – амплитуда колебания, т. е. максимальное смещение, ( t + 0) – мгновенная фаза колебания, – циклическая частота колебания, t – текущее время, 0 – начальная фаза колебания. Циклическая частота , линейная частота v и период колебания Т связаны: (2) 2
Гармонические колебания возникают под действием упругой или ей подобной (квазиупругой) силы. Расположим на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности материальную точку массой m, закрепленную на пружине жесткости k (рис. 1). Со стороны растянутой пружины на точку действует упругая сила Fупр , х пропорциональная смещению х Fy m (закон Гука): х 0 Рис. 1. Колебания материальной точки на пружине. Fупр = - kх. Установим зависимость х = f(t) Запишем 2 -й закон Ньютона в виде дифференциального уравнения: (3) Где ускорение тела 3
Разделим левую и правую части (3) на m и обозначим отношение k и m через 02 : (4) или Покажем, что решением этого дифференциального уравнения является гармоническое колебание: х = А 0 sin ( 0 t + 0 ). (5) Дважды продифференцируем (5): (6) (7) и подставим в (4): А 0 sin ( 0 t + 0 ) = 0, ИЛИ 4
Это равенство должно выполняться в любой момент времени, если (8) Если на тело действует сила упругости, то тело совершает гармонические колебания вида (5): х = А 0 sin ( 0 t + 0 ). Циклическая частота колебания определяется только массой тела и упругими свойствами системы и поэтому называется собственной частотой. Из формул (5) и (7) следует, что смещение тела и его ускорение изменяются в противофазе и амплитуда ускорения равна аmax= υmax ω0 = A 0·ω02. 5
Энергия гармонического колебания. Полная энергия гармонического колебания Е определяется суммой кинетической Ек и потенциальной Еп энергии: (9) Подставляя в формулу (9) выражение для скорости из (6), а для смещения - из (5) и учитывая, что k = 02 m, получим: (9 а) Полная энергия гармонического колебания не зависит от времени и прямо пропорциональна массе тела, квадрату амплитуды и квадрату частоты колебания. Кинетическая и потенциальная энергии колеблющегося тела непрерывно изменяются во времени, но их сумма всегда остается неизменной. 6
2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В реальных системах существуют силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Представим, что наряду с упругой или квазиупругой силой Fyпр в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: Fтр = Дифференциальное уравнение (2 -ой закон Ньютона) с учетом этих двух сил : (10) 7
Разделив левую и правую части уравнения на m, обозначив r/m = 2 и k/m = 02 , имеем : (11) Решение этого уравнения имеет вид: (12) Смещение тела во времени происходит по гармоническому закону с частотой , но амплитуда колебаний уменьшается со временем: 8
Коэффициент = r/2 m (с --1) - коэффициент затухания. Чем больше , тем быстрее затухают колебания и уменьшается циклическая частота собственных колебаний : (13) Колебательный процесс может происходить лишь при условии: ( 02 - 2)>0, т. е. при Рис. 2. Зависимость смещения x от времени t при затухающем колебании 0 > ! 9
Декремент затухания и логарифмический декремент затухания. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания . Декремент затухания - отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т (см. рис. 2): (14) Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания : или = T (15) Использование логарифмического декремента затухания заключается в простоте его экспериментального определения. Если измерить две амплитуды колебаний, взятые через период и найти , зная период Т, легко найти и коэффициент затухания . 10
3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим случай, когда в системе наряду с силами упругости и трения присутствует сила, препятствующая затуханию колебаний. Предположим, что эта вынуждающая сила Fв действует периодически с круговой частотой и зависит от времени по закону : Fв = Fо sin t , где Fо - амплитуда вынуждающей силы Дифференциальное уравнение колебаний 2 -й закон Ньютона, имеет вид: (16) Обозначив k / m = 02 , r / m = 2 , и F 0 /m = f 0 , получим: (17) 11
Решение этого уравнения представляет некоторую функцию, которая графически представлена на рис. 3. Неустановившийся режим Установившийся режим Это решение состоит из двух частей. Первая -неустановившийся режим колебаний, амплитуда зависит от времени. Вторая часть описывает установившийся режим колебаний. Рис. 3. Зависимость смещения х от времени t при вынужденном колебании. В установившемся режиме смещение х подчиняется гармоническому закону и происходит с частотой, равной частоте действия вынуждающей силы: х = А sin ( t + ). (18) Установившаяся амплитуда А вынужденных колебаний А = f ( 0, , f 0, ) зависит от : - параметров системы ( 0 и ) 12 - характеристик вынуждающей силы (f 0 и ):
Расчёт для А и показал : (19) (20) Амплитуда максимальна Аmах при условии: (21) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, происходящее на некоторой частоте действия вынуждающей силы, называется резонансом, а частота, определяемая формулой (21), называется резонансной. Если затухание в системе отсутствует ( = 0), то резонанс наступает при условии = 0, а амплитуда А → ∞ 13
4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. Результат сложения гармонических колебаний зависит от направления смещений складываемых колебаний и от соотношения между их частотами, фазами и амплитудами. Сложение колебаний с одинаковыми частотами. В этом случае складываемые колебания различаются лишь амплитудами А 1 и А 2 и начальными фазами 01 и 02 х1= А 1 sin ( t + 1 ) х2= А 2 sin ( t + 2 ) и (22) Результатом сложения этих колебаний является гармоническое колебание, происходящее с той же частотой: х= х1+х2= А 1 sin ( t + 1 ) + А 2 sin ( t + 2 )= А sin ( t + ) (23) Амплитуда результирующего колебания А зависит от амплитуд исходных колебаний А 1 и А 2, и от разности их начальных фаз 1 и 2 : (24) 14
Начальная фаза результирующего колебания определяется: (25) Результирующее колебание будет происходить по гармоническому закону и той же частотой, что и исходные колебания, но амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз исходных колебаний: - Амплитуда максимальна и равна А=А 1+А 2, если фазы исходных колебаний совпадают или отличаются на 2 kπ, т. е. при Δφ= 2 kπ, - где k = 0, ± 1, ± 2, … - целое число. - Амплитуда минимальна и равна А=|А 1 – А 2|, если исходные колебания находятся в противофазе, т. е. при Δφ= π (2 k+1), - где k = 0, ± 1, ± 2, …. - При А 1=А 2 такие колебания взаимно «погашают» друга, А=0. - При других значениях Δφ амплитуда результирующего колебания определяется выражением (24). 15
Сложение колебаний с разными частотами. х1= А 1 sin ( 1 t + 1 ) х2= А 2 sin ( 2 t + 2 ) и (26) При сложении гармонических колебаний с разными частотами 1 и 2 (периодами Т 1 и Т 2) (рис. 4 а) результирующее колебание не будет гармоническим, а будет представлять более сложное, но периодическое движение. (рис. 4 б) Если складываются гармонические колебания с кратными частотами ( рис. 4 а 2=4 1), то: - период результирующего колебания Т совпадает с наибольшим периодом Т 1 складывамых колебаний: Т = Т 1, - частота результирующего колебания совпадает с наименьшей частотой: = 1. 16
5. РАЗЛОЖЕНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ В РЯД ФУРЬЕ. Теорема Фурье: Любое сложное периодическое движение x(t) = x(t+T) c периодом Т (частотой v = 1/Т) можно представить в виде суммы гармонических колебаний (гармоник), частоты которых кратны частоте v рассматриваемого периодического процесса: vк= к·v. Это утверждение можно записать в виде формулы, представляющей ряд Фурье: (27) Здесь Ак – амплитуды складываемых гармоник, а к – их начальные фазы. Первая гармоника имеет циклическую частоту 1= = 2 v =2 /Т, вторая – 2 , третья – 3 и т. д. А 0 - постоянная составляющая сложного периодического процесса. 17
На рис. 5 периодическая функция х(t), описывает пульсовые колебания изменения кровенаполнения сосуда на фоне ее среднего постоянного значения (кровенаполнения) - величины А 0 в формуле (27). Количество гармоник, входящих в состав сложного колебания, определяется сложностью исходного колебания х(t) ! На рис. 6, представлен гармонический спектр сложного колебания. Ряд Фурье для этого случая содержит 10 слагаемых (к = 1, 2, 3, . . . , 10 ), и вся информация о сложном колебательном процессе заключена в полосе частот от 1 (основная частота) до 10. 18
6. ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ. Многие процессы жизнедеятельности (сердечные сокращения, дыхание, кровенаполнение сосудов и т. д. ), носят периодический характер. ЭКГ (рис. 7) представляет собой сложную периодическую зависимость биопотенциалов сердца от времени t. Рис. 7. Разложение ЭКГ на отдельные гармонические составляющие. 19
Частота первой гармоники при разложении спектра ЭКГ на отдельные гармонические составляющие соответствует частоте сердечных сокращений пациента ≈1 Гц ( Т~ 1 с). • Из реальных данных следует, что гармоники ЭКГ с частотами свыше 150– 400 Гц имеют пренебрежимо малую амплитуду и при разложении ЭКГ в ряд Фурье можно ограничится составляющей с частотой 400 Гц. • Это означает, что информация об электрической деятельности сердца заключена в частотном диапазоне от 0, 5 Гц ( минимально возможная частота сердечных сокращений) до 400 Гц. 20
7. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. Механическая волна представляет собой процесс распространения механических колебаний в упругой среде. Волна распространяется в среде с некоторой скоростью, определяемой только модулем упругости Е и плотностью ρ среды: (28) Волна называется продольной, если направление смещения частиц среды совпадает с направлением распространения волны, распространяется в любых средах. Волна называется поперечной, если же эти направления взаимно перпендикулярны, распространяется в твердых телах. Колебания: смещение S Волна: смещение S = f (t) как функция времени. = f (t, x) как функция времени и координаты. 21
Уравнение волны. М υ N X 0 В т. М возникают гармонические колебания с частотой , амплитудой А и начальной фазой φ = 0, распространяются по оси х со скоростью υ и через время t достигают т. N x Смещение в т. М: Смещение в т. N: Подставив волны: в формулу для Sм = A sin ·t. SN = Asin (t – t), SN, получим уравнение (29) Учитывая, что (где Т – период), а длина волны = υ·T, (30) 22
Поток энергии и интенсивность волны. Вектор Умова Волновой процесс связан с распространением энергии Е в пространстве. Поток энергии Ф – отношение энергии, перенесенной волной через некоторую поверхность, ко времени t, за которое этот перенос совершается. При равномерном переносе энергии Ф = Е / t. В общем случае поток - производная от энергии по времени Ф = d Е / d t. Единицей измерения потока энергии в СИ является Ватт: 1 Вт = 1 Дж/ с. 23
Интенсивность (или плотность потока энергии) волны I - отношение потока энергии Ф к площади S поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. • При равномерном распределении энергии по этой поверхности I = Ф / S = Е/St, • В общем случае I = d. Ф / d. S. Измеряется интенсивность в Вт/м 2. 24
Представим в виде параллелепипеда длиной l участок среды где распространяется волна. Обозначим S площадь грани , перпендикулярной направлению скорости волны υ. Объемная плотность энергии колебательного движения w = Е / V За время t через S пройдет энергия, равная : R Е = w V = w l·S A υ t S = N Разделив левую и правую части D O получим: M I = w υ IS E (31) формулы на t и S , 25
Вектор, модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением ее распространения, носит название вектора Умова : (32) Учитывая m= ·V и Объемная плотность энергии = Тогда (32) принимает вид: w (33) (34) Интенсивность механической волны прямо пропорциональна скорости распространения, квадрату амплитуды и частоты колебаний частиц среды 26
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ Белорусский государственный медицинский университет Кафедра медицинской и биологической физики 27
Скачать презентацию Белорусский государственный медицинский университет Кафедра медицинской и биологической
лекция_колебания.ppt