Базовые понятия свободные векторы радиус векторы

Базовые понятия • свободные векторы, радиус векторы, • операции с векторами, • скалярное и векторное произведение векторов (vector dot & cross production) • базис, координаты, декартова система координат • матрицы, • операции с матрицами, • обращение матриц

Преобразования ( transformations) §Аффинные §Перспективные §Билинейные

Аффинные преобразования Параллельный перенос

Аффинные преобразования Масштабирование (scaling)

Аффинные преобразования Сдвиг (shearing)

Аффинные преобразования Поворот относительно начала координат (rotation)

Матричная запись аффинных преобразований общая запись аффинных преобразований в матричном виде:

Однородные координаты ( homogeneous ) представим координаты на плоскости (2 D) трехкомпонентной вектор - строкой: будем полагать w = 1 перепишем преобразование в общем виде:

Матричный вид аффинных преобразований ~ translation (перенос) ~ shear by x (сдвиг по Х) ~ shear by y (сдвиг по Y) ~ scaling (масштабирование) ~ rotation (вращение)

Композиция преобразований подвергнем точку последовательным преобразованиям относительно системы координат: - перепишем: в силу ассоциативности:

Обратные аффинные преобразования

Преобразование точек, векторов и нормалей точка (радиус-вектор) (p): вектор (v) и нормаль (n) (только направление): преобразования:

Преобразование нормалей

Вариаты нотации записи: столбец или строка Одно преобразование: для вектора-строки для вектора-столбца Композиция преобразований:

Пример: привязка систем координат • заданы точки соответствия • найти «матрицу перехода»

Пример: привязка систем координат

Пример: преобразование изображений => Прямое отображение (direct mapping) => Поворот и масштабирование <= Обратное отображение (inverse mapping) <=

Пример: warping(1) • Регулярная сетка для областей соответствия

Пример: warping(2) Аффинное преобразование Билинейное преобразование Перспективное преобразование

Пример: warping(3) Перспективные преобразования Аффинные преобразования Билинейные преобразования

Пример: morphing = warping + интерполяция цвета

Перспективные преобразования

Привязка с перспективным преобразованием (1) общая формула перспективного (прямого отображения) преобразования: прямое (алгебраическое) отображение: полагаем w=1, итоговая формула для координат:

Привязка с перспективным преобразованием (2) • получение матрицы обратного отображения: • определитель присутствует и в числителе и в знаменателе – вычислять не нужно: • находим присоединенную матрицу:

Привязка с перспективным преобразованием (3) • Задача привязки: по 4 точкам соответствия определить матрицу перехода:

Привязка с перспективным преобразованием (4) зависимость новых координат от старых (выразим координаты x и y): выпишем в матричной форме 8 уравнений для 4 точек хi: yi

Привязка с перспективным преобразованием (5) для упрощения задачи переход ищем из единичного квадрата: получаем:

Привязка с перспективным преобразованием (6) обозначаем: и находим решение:

Аффинные преобразования в пространстве Аналогично случаю 2 D вводим однородные координаты: и преобразования в общем случае:

Матрицы3 D преобразований (перенос , масштабирование) ~ translation (параллельный перенос) ~ scaling (масштабирование)

Матрицы3 D преобразований (поворот вокруг осей) ~ rotation (повороты): вокруг оси Z вокруг оси Х вокруг оси Y

Матрицы3 D преобразований (поворот вокруг оси) Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат. Ось задается нормированным радиус-вектором. ~ rotation Кватернионы! Самостоятельно.

Пример: построение матрицы камеры (1) камера задается: позиция С и векторы направления «вверх» V, «вправо» U и «вперед» N. • • ищем преобразование в виде «перенос + поворот» : где

Пример: построение матрицы камеры (2) • после преобразования векторы отобразятся: т. е.

Пример: построение матрицы камеры (3) Зная что находим