Базисные решения систем линейных уравнений Пусть дана система

Базисные решения систем линейных уравнений Пусть дана система линейных уравнений Будем считать, не нарушая общности, что

Базисное решение системы линейных алгебраических уравнений. Опорное решение. Определение 1. Базисным решением (планом) системы линейных уравнений называется решение, ненулевым компонентам которого соответствуют линейнонезависимые столбцы матрицы А. Если базисное решение удовлетворяет условию неотрицательности, то оно называется опорным.

Столбцы матрицы и компоненты решения

Базис опорного решения Определение 2. Базисом опорного решения называется система из m линейно-независимых столбцов матрицы A, содержащая все те столбцы, которые соответствуют положительным компонентам вектора. Из определений следует, что количество ненулевых компонент базисного решения не превосходит m. Если число ненулевых компонент строго меньше m, то базисное решение называется вырожденным.

Базисные и небазисные переменные Пусть B – базис некоторого опорного решения, и для определенности Тогда систему уравнений можно переписать в виде: - вектор базисных переменных - вектор небазисных переменных

Соответствие вершин множества R опорным решениям системы Если множество допустимых решений R не пусто и задано в виде то точка является вершиной тогда и только тогда, когда - опорное решение системы

Жорданова форма записи системы уравнений С помощью элементарных преобразований систему уравнений можно привести к такому виду: где Такая форма записи системы уравнений называется Жордановой.

Развернутая запись Жордановой формы системы уравнений

Легко заметить, что столбцы то есть, по базису - вектор разложения вектора Систему можно записать в виде следующей Жордановой таблицы.

Жорданова таблица

Первоначальное опорное решение Легко записать базисное решение, соответствующее базису B и жордановой таблице. Если опорным. , то базисное решение будет

Относительные оценки Для того, чтобы выявить оптимальность базисного решения, в таблицу добавляется строка относительных оценок Формула для вычисления: - коэффициенты целевой функции при базисных переменных - столбцы матрицы ограничений

Система ограничений задачи ЛП в стандартной форме

Система уравнений в канонической форме

Базисные и небазисные переменные

Коэффициенты целевой функции и первоначальное опорное решение в случае стандартного вида задачи ЛП

Первоначальная симплекс-таблица в случае стандартной задачи ЛП

Вычисление оценок ∆ и значения целевой функции Для базисных переменных

Признак оптимальности опорного решения (симплекс-таблицы) Утверждение 1. Опорное решение является оптимальным решением задачи, если

Признак неограниченности целевой функции Утверждение 2. Если существует такой номер s, для которого И все , то целевая функция задачи не ограничена на множестве R допустимых решений этой задачи.

Признак возможности улучшения опорного решения Утверждение 3. Если существует s, для которого а среди есть положительные, то выбрав разрешающий элемент по правилу можно за один шаг жордановых преобразований перейти к новому опорному решению

Значение целевой функции в новой вершине

Правила жордановых преобразований

Алгоритм симплекс-метода Построить начальную симплекс-таблицу 2. Если все , то перейти на шаг 5. Если существует j=s такое, что , то выбираем s-й столбец разрешающим. 3. Выбор разрешающей строки r по правилу: Если все , то целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений. Переход на шаг 6. 4. Жордановы преобразования симплекс-таблицы с разрешающим элементом и переход на шаг 2. 1.

Алгоритм симплекс-метода (продолжение) 5. Симплекс-таблица оптимальна, то есть, определяет оптимальное решение задачи и максимальное значение целевой функции. 6. Решение задачи завершено.

Пример 1.

Переход к канонической форме

Первоначальная симплекс-таблица и шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Метод искусственного базиса Пусть матрица А ограничений задачи не содержит m единичных ортов. Тогда для построения начального опорного решения используется метод искусственного базиса. Рассматривается вспомогательная задача.

Первоначальное опорное решение вспомогательной задачи Очевидно, что вектор является опорным решением вспомогательной задачи (2). Известно, что: 1. Задача (2) всегда разрешима, и 2. Если и вектор оптимальное решение задачи (2) , то вектор является опорным решением задачи (1). 3. Если , то система ограничений исходной задачи (1) противоречива.

Решить задачу. Перейдем к каноническому виду.

Рассматривается вспомогательная задача

Начальная симплекс-таблица для вспомогательной задачи

Запишем начальную таблицу для исходной задачи. По утверждению 2, так как оценка отрицательна, а все элементы столбца неположительны, заключаем, что исходная задача неразрешима в силу неограниченности целевой функции сверху на множестве R.