Авторы Соловьев Саша Перепелкина Катя B 1

Авторы: Соловьев Саша Перепелкина Катя

B 1 C 1 D 1 A 1 B A D Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся C диагонали двух смежных граней куба.

Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, используя метод объёмов.

построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми; доказать, что эта высота и есть искомое расстояние найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту

B 1 D 1 A 1 B A D Пусть АС и DC 1 – C 1 скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным граням АВСD и DD 1 C 1 C соответственно. Найдём расстояние C между ними.

Дополнительное построение: АВ 1 , СВ 1 и DВ 1. 1 1 Но (DD 1 С 1)║(АА 1 В 1), т. к. дан куб DС 1 ∈ (DD 1 С 1) DС 1║АВ 1∈ (АА 1 В 1), В результате дополнительных построений мы получили пирамиду DAB 1 C. В пирамиде DAB 1 C, 1 высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC 1. Теперь докажем почему. B A 1 C D B A C D

B 1 A 1 C 1 D 1 B A C D Высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C, перпендикулярна плоскости этого основания. Значит, она перпендикулярна любой прямой принадлежащей этой плоскости (по определению). Но АС ∈ (AB 1 C ) AB 1 ∈ (AB 1 C ) h | AB 1 h | (AB 1 C ) h | АС Но, с другой стороны АВ 1 ║ DС 1 h | AB 1 Значит, h | DС 1. Имеем: h | DС 1 h | АС Следовательно, h – общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых АС и DС 1. Что и требовалось доказать. Найдём эту высоту.

B 1 C 1 D 1 A 1 а B C а A а D Рассмотрим пирамиду B 1 АCD: V 1 = ⅓ ·h · SАСD. h = B 1 В = а SАСD=½·СD·АD= ½·а 2 Вывод: V 1 = ⅓·½·а 3

B 1 А 1 C 1 Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D: D 1 В А C D Учитывая, что V 1 = V 2 , получим d= - искомое расстояние.

Цель достигнута. В данной работе мы доказали, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью теории объёмов. Этот метод очень интересен своей нестандартностью, красотой и индивидуальностью. Метод объёмов способствует развитию пространственного воображения и умению мысленно создавать представления о форме фигур

B 1 C 1 D 1 A 1 B A D Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся C диагонали двух смежных граней куба.

Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить используя метод проекций

Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых Проецируем каждую прямую на эту плоскость Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми

C D β β || DB B A BQ ║ АС Q H AH | QA 1 C 1 D 1 AH – искомое расстояние A 1 B 1

D β C A Q H D 1 A 1 B C 1 B 1

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить как расстояние между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость проекций

B 1 C 1 D 1 A 1 B A D Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся C диагонали двух смежных граней куба.