Автор Синяк Сергей Александрович Siniak Siarhei Руководители Валаханович

Автор: Синяк Сергей Александрович Siniak Siarhei Руководители: Валаханович Татьяна Владимировна valakhanovich. tv@mail. ru Задворный Ярослав Борисович slava. zadvorny@gmail. com Беларусь, Минская область, г. Дзержинск ГУО «Гимназия города Дзержинска» улица 1 -я Ленинская, дом 21, (8 -10 -375 -17 -16) 5 -63 -98; gymnasium@schoolnet. by (8 -10 -375 -17 -16) 5 -90 -24; +375 -29 -928 -19 -52; Минская область, Дзержинский район, д. Рудня, ул. Дзержинского, д. 18, кв. 1; serega. belarus@gmail. com Наука математика «Шарики в коробочках»

Работа посвящена решению олимпиадной задачи, предложенной на заключительном этапе Всероссийской олимпиады по математике в 2003/2004 учебном году, её дальнейшему обобщению и исследованию. В процессе исследования решена исходная задача, поставлены ещё четыре задачи той же структуры. Две из них решены полностью, по двум остальным предложены некоторые идеи исследования. Основным аппаратом исследования послужила теория графов, в частности, теория деревьев, двудольных графов и т. д. В качестве дальнейшего направления исследования предложено сведение задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Шарики в коробочках Cиняк Сергей Александрович Руководители: Валаханович Татьяна Владимировна, Задворный Ярослав Борисович

Задача 1. На столе стоит n коробочек, в каждой из которых лежит шарик, либо чёрного, либо белого цвета, причём шариков белого цвета нечётное число. Разрешается указать любые две коробочки и узнать, лежит ли хотя бы в одной из них шарик белого цвета. За какое минимальное количество вопросов можно указать одну коробочку, в которой гарантированно лежит шарик белого цвета? 1 2 3 4 5 6

Задача 2. На столе лежит n ( ) коробочек, в каждой из которых лежит шарик, либо чёрного, либо белого цвета. Разрешается указать на любые две коробочки и узнать, сколько в них лежит шариков белого цвета. За какое минимальное количество вопросов можно точно узнать, шарик какого цвета лежит в каждой коробочке? Определение. Открытыми будем называть коробочки, для которых известно, какого цвета шарик лежит внутри.

Задача 3. На столе стоит коробочек ( ), в каждой из которых лежит шарик либо чёрного, либо белого цвета, причём белого цвета. Разрешается указать на любые k коробочек и узнать, лежит ли хотя бы в одной из них шарик белого цвета. Найдите алгоритм, позволяющий за минимальное количество вопросов определить, в какой коробочке лежит шарик белого цвета.

Задача 4. На столе лежит n коробочек, в каждой из которых лежит шарик, либо чёрного, либо белого цвета. Разрешается указать на любые m коробочек и узнать, сколько в них лежит шариков белого цвета. За какое минимальное количество вопросов можно точно узнать, шарик какого цвета лежит в каждой коробочке?

– номер какой-либо коробочки среди n заданных коробочек , s – количество уравнений и

Теорема. На столе лежит коробочек, в каждой из которых лежит шарик, либо чёрного, либо белого цвета. Разрешается указать на любые m коробочек и узнать, сколько в них лежит шариков белого цвета. Чтобы узнать, шарик какого цвета лежит в каждой коробочке, необходимо и достаточно задать m вопросов.

Задача 5. На столе лежит n коробочек, в каждой из которых лежит шарик, либо чёрного, либо белого цвета. Разрешается указать на любые m коробочек и спросить, сколько в них лежит шариков белого цвета, не получив при этом ответа. Подобную операцию можно производить несколько раз. После последнего заданного вопроса можно получить ответы на все заданные вопросы. За какое минимальное количество вопросов можно точно узнать, шарик какого цвета лежит в каждой коробочке?

В данной работе получены следующие результаты: 1) для задачи № 1 был найден алгоритм, позволяющий определить за минимальное количество вопросов коробочку, в которой наверняка находится шарик белого цвета, для нечётного числа коробочек, была доказана оптимальность этого алгоритма; было доказано, что если число коробочек чётно, то невозможно определить коробочку, в которой наверняка находится шарик белого цвета; 2) для задач № 2, № 3 были найдены алгоритм решения для любого числа коробочек и доказана его оптимальность; 3) для задач № 4 и № 5 были найдены алгоритмы решения.

Литература 1. Мельников, О. И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся / О. И. Мельников. – Мн. : Бел. навука, 2000. – 96 с. : ил. 2. Горбачёв, Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике / Н. В. Горбачёв. – М. : МЦНМО, 2004. – 560 с. 3. Харари Ф. Теория графов / Ф. Харари. – М. : Ком. Книга, 2006. – 296 с. 4. Емеличев В. А. и др. Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ» , 2009. – 392 с.