Автор: Бородина Татьяна Анатольевна учитель информатики ОУ СОШ № 3 «Образовательный центр» г. Сызрань, Самарская область
Урок № 1 Логика как наука. Формы человеческого мышления Урок № 2 Логические операции. Построение таблиц истинности Урок № 3 Логические законы. Упрощение сложных высказываний Хорошо думать — значит победить беспорядочность потока мыслей. Густав Гийом
Урок № 1 Логика как наука. Формы человеческого мышления Урок № 2 Логические операции. Построение таблиц истинности Урок № 3 Логические законы. Упрощение сложных высказываний Объяснение материала Об истории логики Область применения алгебры логики Основные понятия логики
Урок № 1 Логика как наука. Формы человеческого мышления Урок № 2 Логические операции. Построение таблиц истинности Урок № 3 Логические законы. Упрощение сложных высказываний Объяснение материала Логические операции Сложные высказывания Построение таблиц истинности сложных высказываний
Урок № 1 Логика как наука. Формы человеческого мышления Урок № 2 Логические операции. Построение таблиц истинности Урок № 3 Логические законы. Упрощение сложных высказываний Объяснение материала Законы логики Упрощение сложных высказываний
Об истории логики Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон» . Логика - это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления. Задача логики - описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.
Аристотель (384 - 322 гг. до н. э. ) Основоположник формальной логики
Рене Декарт (1596 - 1650) Рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716 ) Предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Так зародилась математическая, или символическая, логика.
Джордж Буль (1815 - 1864) Основоположник алгебры логики (булевой алгебры)
Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли многие выдающиеся математики и логики XVI - XX веков, в том числе М. В. Ломоносов А. Тьюринг Г. Фреге Д. Гильберт П. С. Новиков К. Гедель А. А. Марков И. Кант А. Н. Колмогоров
Область применения алгебры логики Алгебра логики сегодня - раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Мыслить логично - значит мыслить точно и последовательно, не допуская противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки. Постижение науки логики дает возможность: узнать законы, правила и приемы мышления; анализировать правильность рассуждений; оценивать истинность полученных заключений.
Практическое применение булевой алгебры в вычислительной технике; в логических построениях в математике; в повседневных рассуждениях.
Основные понятия логики Понятие – форма мышления, в которой отражается существенные признаки предметов СОДЕРЖАНИЕ Компьютер – многофункциональное техническое электронное автоматическое устройство для накопления, обработки и передачи информации. ОБЪЕМ Совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров
Виды понятий • Несравнимые – далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков. • Сравнимые – остальные. • Совместимые – объемы понятий совпадают полностью или частично. • Несовместимые – объемы понятий не совпадают ни по одному элементу.
Основные понятия логики Суждение (высказывание, утверждение) форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Суждение (высказывание, утверждение) повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.
Не являются суждениями: • Предложения, о которых нельзя сказать, истинны они или ложны. Эта книга - информатика. Метеорологический прогноз. • Вопросительные и восклицательные предложения. Как мелодичны вы, песни, • Предикаты (выражения о переменных) , в которых значения переменных не определены. Украины! Верно ли, что сегодня теплая погода? 5 +X =12 X + Z < 1 Число Y кратно 3
Виды суждений • Частные • Общие – выражают конкретные факты. – характеризуют свойства групп объектов (явлений). – не содержат в себе других • Простые высказываний. – образованы из нескольких простых с • Сложные помощью определенных способов соединения. • Равносильные – одновременно истинные или (эквивалентные) одновременно ложные.
Основные понятия логики Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений (посылок) по определенным правилам вывода получают суждение-заключение.
Вопросы и задания 1 Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями? С У Ж Д Е Н И Е Н Е С У Ж Д Е Н И Е • Некоторые люди имеют голубые глаза. • Вы были в театре? • Мойте руки перед едой. • Если будет дождь, то мы поедем за грибами. • Завтра я сдам экзамен, либо останусь на второй год. • Существую такие люди, которые не любят животных. • Завтра я пойду на каток. • Если я поеду туда, то смогу ли вернуться? • IF X>1 THEN Y=0
Вопросы и задания 2 Укажите для нижеприведенных высказываний, сложные они или простые: С Л О Ж Н Ы Е • Если две прямые параллельны, то они пересекаются. П Р О С Т Ы Е • Завтра премьера в нашем театре. • Идет дождь. • На следующем уроке будет либо контрольная работа, либо свободный урок. • Завтра или сегодня брат приедет к нам в гости. • Треугольники с равными сторонами не равнобедренны. • Это число не простое. • Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться. • 7 + x x + c + 0, 1 a • Число 4 больше числа 2.
Вопросы и задания 3 Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями и каково значение их истинности: И С Т И Н А • "сижу и смотрю"; • "сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам"; • "верно ли, что π=3, 1415926. . . ? "; Л О Ж Ь • "44>88"; • "математическое доказательство"; • "Z + 5 = 45".
Вопросы и задания 4 Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими: Ч А С Т Н Ы Е • (X + Y) (X - Y) = X 2 - Y 2; • "Любой ромб является параллелограммом"; • "А 3= А 2, если А=1"; • Если |А| = |В|, то А = В; • "Квадрат любого числа делится на 4"; О Б Щ И Е • "Меркурий - спутник Марса"; • "Джордано Бруно - ученик Галилео Галилея"; • "Не существует целого числа, куб которого оканчивается цифрой 2 ".
Логические операции
Логическое отрицание -ИНВЕРСИЯ Образуется из высказывания с помощью добавления частицы «НЕ» к сказуемому или использования оборота речи «НЕВЕРНО, ЧТО. . . » Примеры инверсии: Обозначение: Ā, ¬А, не А, not А Таблица истинности: Ā = «Неверно, что у меня есть приставка Dendy» Ā = «Я не знаю китайского языка» Инверсия высказывания истинная, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» (а также «А» , «НО» ) Обозначение: Аи. В, А^В, А & В, А*В, А and B, А B Таблица истинности: Примеры конъюнкции: «Сегодня солнечный день и мы пойдем гулять» «Богдан был победителем, а Степан занял второе место» Конъюнкция двух высказываний истинная тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
Логическое сложение -ДИЗЪЮНКЦИЯ Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» (нестрогая), «ЛИБО» (строгая) Обозначение: А или В, АV В, А | В, А+В, А or B, А B; A B, A xor B Таблица истинности: Примеры дизъюнкции: «Снег пойдет ночью или утром» «Он приедет сегодня либо завтра» Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Логическое следование ИМПЛИКАЦИЯ Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ …, ТО. . . » Обозначение: А В, А В Таблица истинности: Примеры импликации: «Если число делится на 9, то оно делится на 3» «Если на улице дождь, то асфальт мокрый» Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Логическое равенство ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА. . . » Обозначение: А В, А=В, А~В Таблица истинности: Примеры эквивалентности: «Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится нацело на 3» «Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°» Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Перевод логических операций на естественный язык Ø Ø Ø Инверсия не А; неверно, что А и А, и В; как А, так и В; А вместе с В; Конъюнкция А несмотря на В; А, в то время как В; Аи. В Дизъюнкция А или В; А либо В; либо А, либо В; строго А или В Импликация если А, то В; В, если А; В необходимо для А; А достаточно для В; В тогда, когда А; все А есть В Эквивалентность А эквивалентно В; А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В
Приоритет логических операций • • • инверсия конъюнкция дизъюнкция импликация эквивалентность Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.
Пример 1 3 4 2 5 1 Дана формула: А V В С & D Ā Порядок вычисления: 1) Ā — инверсия 2) C&D — конъюнкция 3) АV В — дизъюнкция 4) А V В С & D — импликация 5) А V В С & D Ā — эквивалентность
Пример 2 4 1 3 5 2 Дана формула: А V (В С) & D Ā Порядок вычисления: 1) (В C) — импликация в скобках 2) Ā — инверсия 3) (В С) & D — конъюнкция 4) А V (В С) & D — дизъюнкция 5) А V (В С) & D Ā — эквивалентность
Сложные высказывания Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным. Примеры сложных высказываний:
Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1). Например, Демократ - человек, исповедующий демократические убеждения. Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0). Например, Компьютер включен, и компьютер выключен. Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называется равносильными, тождественными, эквивалентными.
Задача № 1 Укажите значения истинности простых высказываний, при которых суждение «Если у меня будет свободное время, и я сдам экзамены, то я поеду отдыхать» ложно.
Задача № 1 Решение В = «У меня будет свободное время» Е = «Я сдам экзамены» А = «Я поеду отдыхать» B & Ē Ā
Построение таблиц истинности сложных высказываний Построить таблицу истинности для высказывания B&Ē Ā ( на примере n=3): Алгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания: • вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности (количество строк - 2 n +2, количество столбцов равно сумме количества переменных (n) и количества логических операций, входящих в сложное высказывание); • начертить таблицу и заполнить заголовок в соответствии с приоритетом логических операций; • заполнить первые 3 столбца с учетом всех возможных комбинаций значений переменных; • заполнить остальные столбцы таблицы в соответствии с таблицами истинности логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями столбцов, расположенных левее заполняемого.
В & Ē Ā В Е А Ē Ā В & Ē В &Ē Ā 1 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 4(2) 5(3) 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 6 (1) * (4) 0 7 (6) (5) 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
Логические функции в EXCEL ИСТИНА (1) Возвращает логическое значение ИСТИНА Синтаксис ИСТИНА( ) ЛОЖЬ (0) Возвращает логическое значение ЛОЖЬ Синтаксис ЛОЖЬ( )
Логические функции в EXCEL И Синтаксис И(логическое_значение 1; логическое_значение 2; . . . ) от 1 до 30 проверяемых условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ
Логические функции в EXCEL ИЛИ Синтаксис ИЛИ(логическое_значение 1; логическое_значение 2; . . . ) от 1 до 30 проверяемых условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ
Логические функции в EXCEL НЕ Синтаксис НЕ (логическое_значение) величина или выражение, которые могут принимать два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ
Вопросы и задания 5 Укажите в нижеприведенных сложных высказываниях связующие слова или союзы и логическую операцию: • Если горит свет, то электроэнергия поступает. • Всякий прямоугольник имеет прямые углы и параллельные другу стороны. • Треугольники с равными сторонами не являются равнобедренными. • На следующем уроке будет либо история, либо химия. • Я поеду в горы тогда и только тогда, когда куплю горные лыжи и ботинки. • Неверно, что Саша приходил вчера ко мне. • Зимой мы обычно ходим на лыжах или катаемся на коньках на нашем пруду. • x + y = /2 и sin x - sin y = 21/2
Вопросы и задания 6 Составьте несколько сложных высказываний, используя нижеприведенные простые высказывания и логические связки: • Завтра будет хорошая погода. Мы хотим пойти за грибами. • Сергей приглашает нас на рыбалку. Сергей приглашает нас купаться. • 2 * 2 = 5. • Н 2 О = водород + кислород. • Я видел Мишу в школе. • Он скоро окончит институт. Он будет учиться в аспирантуре. • Завтра будет холодно. Завтра будет снег. Завтра будет тепло.
Вопросы и задания 7 Определите формы следующих сложных высказываний, записав их на языке алгебры логики: Е = «Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным» Е = «Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце» Е = «И добродетель стать пороком может, когда ее неправильно приложат» Е = «Поиски врага длились три часа, но результата не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал»
Вопросы и задания 8 По форме высказывания и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке: (Ā & Ē) (Ū & D) Составляющие простые высказывания: А = «Человек с детства давал нервам властвовать над собой» ; Е = «Человек в юности давал нервам властвовать над собой» ; U = «Нервы привыкнут раздражаться» ; D = «Нервы будут послушными» .
Вопросы и задания 8 По форме высказывания и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке: (B & Ē) Ā Составляющие простые высказывания: А = «Некто является врачом» ; В = «Больной поговорил с врачом» ; Е = «Больному стало легче» .
Вопросы и задания 9 Определите формы следующих сложных высказываний, записав их на языке алгебры логики: • Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. • Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку. • Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно. • Без Вас хочу сказать Вам много, При Вас я слушать Вас хочу. • Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию.
Физкульминутка Упражнение 1. Выполняется сидя. Быстро моргать в течение 30 сек. Упражнение 2. Выполняется стоя. Смотреть вдаль прямо перед собой 2 -3 с, поставить палец руки по средней линии лица на расстоянии 25 -30 см от глаз, перевести взгляд на конец пальца и смотреть на него 3 -5 с, опустить руку. Повторить 5 раз. Упражнение 3. Растереть наружные и внутренние поверхности ладоней до ощущения тепла. Упражнение 4. Кисти постепенно сжимать в кулаки, все крепче и крепче на счет 1 -6. Встряхнуть кистями, расслабиться на счет 7 -9.
Вопросы и задания 11 Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти высказывания тождественно истинными: 1. A (B A) 2. A & B A 3. B (B v A) 4. ((A B) ^ (B C)) (A C) 5. (A B) (A B A)
Вопросы и задания 10 Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний: 1. A & (E v Ē & Ū) 2. A & (A v B v C) 3. B v (B & A) 4. B & (A v C) 5. (B v A) & (A & C)
Вопросы и задания 12 Определите, какие из следующих пар высказываний являются эквивалентными, а какие нет: 1. A B; B A 2. A v (B & C); (A v B) & (А v C) 3. A B; (А B) & (B A) 4. A & (A v B); 5. A B; A v B A
Законы логики
Домашнее задание № 3. 2. А = « 2 * 2 = 4» Е = « 3 * 3 = 9» (А * Е) + (Ā * Ē) А 0 0 1 1 Е 0 1 Ā Ē 1 1 1 0 0 А*Е 0 0 0 1 Ā*Ē 1 1 1 0 (А * Е) + (Ā * Ē) 1 1
Домашнее задание № 3. 3. А 0 0 1 1 В 0 1 Ā В 1 1 1 0 0 Āv. B 1 1 1 0 Āv. B 0 0 0 1 А 0 0 1 1 РАВНОСИЛЬНЫ B 0 1 А&B 0 0 0 1
Домашнее задание № 3. 4. А B 0 0 1 1 0 1 А~B 1 0 0 1 А В Ā В Аv. B Āv. B 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 (А v B) & (Ā v B) 1 1 0 1 РАВНОСИЛЬНЫ 1 0 0 1
Домашнее задание Задача 3. А = «Стекло разбил Коля» В = «Стекло разбил Саша» А В В Аv. B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 (А v B) & B → A 0 0 1 1 1 1
Домашнее задание Задача 4*. (K V M) → (M V ¬L V N) K L M N ¬L KVM M V ¬L V N (K V M) → (M V ¬L V N) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1
Физкульминутка Упражнение 1. Исходное положение - руки вдоль туловища. На счет 1 руки к плечам, сжав кисти в кулаки, голову наклонить назад; 2 - локти вверх, голову наклонить вперед; 3 исходное положение. Темп средний. Повторить 10 раз. Упражнение 2. Исходное положение - руки вдоль туловища, голова прямо. На счет 1 - голову наклонить вправо; 2 - исходное положение; 3 - голову наклонить влево; 4 - исходное положение; 5 - голову повернуть вправо; 6 - исходное положение; 7 - голову повернуть влево; 8 - исходное положение. Темп медленный. Повторить 10 раз.
Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе. А=А
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и тоже время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-то одновременно утверждать и отрицать. А&Ā=0
Закон исключения третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано. А+Ā=1
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.
Закон двойного отрицания: если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. А =А
Свойства констант: отрицание лжи есть истина. 0=1 отрицание истины есть ложь. 1=0 Аv 0=А А&0=0 Аv 1=1 А&1=A
Закон идемпотентности: Аv. А=А А&А=A
Законы коммутативности (сочетательные законы): операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами. Аv. В=Вv. А А&В=В&А
Законы ассоциативности (распределительные законы): если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять. А v (В v C) = (А v В) v C А & (В & C) = (А & В) & C
Законы дистрибутивности: А v (В & C) = (А v В) & (А v C) А & (В v C) = (А & В) v (А & C)
Законы поглощения: А & (В v B) = А или А & (А v В) = А или (А v B) & B = А & B А v В & B = А или А v (А & В) = А или (А & B) v B = А v B
Законы де Моргана: отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний. А v В = А & В или Аv. B=А&B А & В = А v В или А&B=Аv. B
Правило замены операции импликации: А В =Аv. В
Правило замены операции эквивалентности: А В =В А А В = (А v В) & (А v B) А В = (А & В) v (А & B) А В = (А В) & (B A)
Доказательство логических законов • построить таблицу истинности для правой и левой частей равенства; • выполнить эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к одному виду; • с помощью диаграмм Эйлера - Венна; • путем правильных логических рассуждений.
Упрощение сложных высказываний
X=X&1 X=Xv 0 - по свойствам констант; 1=Аv. A - по закону исключения третьего; 0=Z&Z - по закону исключения третьего; B=Bv. Bv. B C=C&C&C&C E=E - по законам идемпотентности; - по закону двойного отрицания.
Задача № 2 «Уроки логики» На вопрос, кто из трех школьников изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но не верно, что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал логику?
Задача № 2 «Уроки логики» Решение: Р 1 = «Первый школьник изучал логику» Р 2 = «Второй школьник изучал логику» Р 3 = «Третий школьник изучал логику»
Задача № 2 «Уроки логики» (Р 1 → Р 2) & (Р 3 → Р 2) = = (P 1 v P 2) & (P 3 v P 2) = = (P 1 v P 2) & (P 3 & P 2) = = (P 1 & P 3 & P 2) v (P 2 & P 3 & P 2) = =0 = (P 1 & P 3 & P 2)
Пример 3 Требуется упростить: А & B v A & B По закону дистрибутивности вынесем А за скобки: А & B v A & B = А & (B v B) = А & 1 = A
Пример 4 Требуется упростить: (А v B) & (A v B) Способ 1. Применим закон дистрибутивности: (А v B) & (A v B) = А v (B & B) = А v 0 = A Способ 2. Перемножим скобки на основании того же закона дистрибутивности: (А v B) & (A v B) = А & А v А & B v B & А v B & B = = А v А & (B v B) v 0 = А v A & 1 = А v А = A
Пример 5 Требуется упростить: X v X & Y Представим Х как Х & 1, а 1 распишем по закону исключения третьего как Y v Y, далее раскроем скобки: X v X & Y = X & 1 v X & Y = X & (Y v Y) v X & Y= X & Y v v X & Y. Закон имподентности позволяет добавить в выражение любое из имеющихся в нем слагаемых. Добавим к полученному выражению X & Y и сгруппируем слагаемые: X&Yv. X&Y=X&Yv. X&Y= = (X & Y v X & Y) v (X & Y v X & Y) = X & (Y v Y) v Y & & (X v X) = X & 1 v Y & 1 = X v Y.
Пример 6 Требуется упростить: А & C v B & C v А & B Добавим к последнему слагаемому С. Это делается стандартным способом: умножим А & B на 1, а 1 распишем как С v С: A&Cv. B&Cv. A&B=A&Cv. B&Cv. A&B&1=A&Cv v B & C v А & B & (C v C) = A & C v B & C v A & &B&C=A&Cv. A&B&Cv. A&B&C= = A & C & (1 v B) v B & C & (1 v А) = A & C v B & C
Пример 7 Требуется упростить: X v Y Применим закон де Моргана: X v Y=X&Y
Пример 8 Требуется упростить: X & Y v X & Z В данном случае воспользуемся законом двойного отрицания: X&Yv. X&Z= {раскроем одно отрицание}= (X & Y) & (X & Z) = = (X v Y) & (X v Z) = {перемножим первую и вторую скобки, упростим, а третью скобку оставим без изменения}= (X & X v X & Y v Y & Y) & (X v Z) = = (X & Y v X & Y) & (X v Z) = {перемножим скобки, упростим}= X & Y v X & Y & Z = = X & Y & Z v X & Y = {применим закон де Моргана}= X & Y & Z & (X v Y) = (X v Y v Z) & (X v Y) =
Физкульминутка Упражнение 1. Поднять глаза вверх, при этом голова остается в одном положении, задержать взгляд на 2 -3 секунды, затем опустить глаза вниз и задержать взгляд на 2 -3 секунды повторить упражнение 10 раз. Упражнение 2. Посмотреть вправо (не поворачивая головы), как можно дальше, задержать взгляд на 2 -3 секунды, затем посмотреть влево, как можно дальше (при этом голова остается в том же положении) "и задержать взгляд на 2 -3 секунды, повторить упражнение 10 раз. Упражнение 3. Вращать глаза по часовой стрелке -10 раз, затем в обратную сторону 10 раз.
Вопросы и задания 13 Упростите следующие выражения: • (Р C) * (C P) • А * B * C + A • (А * B) + (А * B) • (А * Р * C) + (А * Р * C)
Вопросы и задания 14 Преобразуйте в равносильные формулы так, чтобы использовались только логическое сложение и отрицание : • (X * Y) (X Z) • (А * Р) (P * А)
Вопросы и задания 15 Преобразуйте в равносильные формулы так, чтобы использовались только логическое умножение и отрицание : • А +Р+C • (X + Y) (X Z)
Скачать презентацию Автор Бородина Татьяна Анатольевна учитель информатики ОУ СОШ
alg_logic.ppt