АВ перпендикуляр к плоскости АC наклонная

АВ — перпендикуляр к плоскости АC — наклонная CB — проекция АB — расстояние от точки до плоскости A C B α

A C B α

Теорема Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной

Теорема Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной Дано: A AB ⏊ α АС — наклонная к α ВС — проекция АС СD ∈ α, CD ⏊ BC Доказать: CD ⏊ AC Доказательство: 1) CD ⏊ BC AB ⏊ α ⇒ AB ⏊ CD 2) CD ⏊ AB, CD ⏊ BC AB, BC ∈ (ABC) ⇒ ⇒ CD ⏊ (ABC) D B α Теорема о трёх перпендикулярах C ⇒ CD ⏊ AC По признаку перпендикулярности прямой и плоскости Теорема доказана

Обратная теорема Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции

Обратная теорема Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к её проекции Дано: CD ⏊ AC AB ⏊ α АС — наклонная к α ВС — проекция наклонной АС СD ∈ α Доказать: CD ⏊ BC A D B C α

Задача 1 D Дано: AD ⏊ (ABC) ∆ ABC — равнобедренный AB = АC = 5 см ВС = 6 см, AD = 12 см Найти: расстояние от концов отрезка AD до прямой ВС 12 Решение: 1) AE ⏊ BC AE — расстояние от А до BC 2) ΔАВС — равноб. ⇒ ⇒ АЕ — высота и медиана ΔАВС ⇒ 5 B 5 3) ∆АЕС — прямоуг. ⇒ 6 E 4) BC ⏊ AE, AD ⇒ BC ⏊ DE A C

Задача 2 Дано: BD ⏊ (ABC) D ВD = 9 см, АС = 10 см ВС = ВА = 13 см Найти: a) расстояние от точки D до прямой AС б) SACD 9 Решение: 1) BE ⏊ AC 2) ΔАВС: BЕ — высота и медиана ΔАВС ⇒ ⇒ СЕ = ЕА = 5 см 3) BD ⏊ AC, ВЕ ⏊ АС ⇒ DЕ ⏊ АС A 13 B E 13 5) ∆ACD: AC — основание, DE — высота ⇒ Ответ: DE = 15 см, SACD = 75 см 2 C 10