Скачать презентацию Атом водорода в квантовой механике Принцип Паули Рассмотрим Скачать презентацию Атом водорода в квантовой механике Принцип Паули Рассмотрим

Лекция 11_Атом водорода в квантовой механике.ppt

  • Количество слайдов: 22

Атом водорода в квантовой механике. Принцип Паули. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с Атом водорода в квантовой механике. Принцип Паули. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Z. e (Z-целое число) и движущегося вокруг него электрона. При такая система называется водородоподобным ионом; при Z = 1 она представляет атом водорода. В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия: где - заряд ядра, r – расстояние между ядром и электроном, ε 0 – электрическая постоянная. Уравнение Шрёдингера для такой системы имеет вид (1)

Выражение оператора Лапласа Δ в сферической системе координат (r, θ, φ) вид: Уравнение (1) Выражение оператора Лапласа Δ в сферической системе координат (r, θ, φ) вид: Уравнение (1) имеет однозначные, конечные и непрерывные ! решения в следующих случаях: 1. При любых положительных значениях Е. 2. При дискретных отрицательных значениях энергии, равных где n – главное квантовое число из теории Бора: (n = 1, 2, 3, …).

Случай 1. Соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай 2. Случай 1. Соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай 2. Соответствует электрону, связанному с атомом. Собственные функции уравнения целочисленных параметра: n – главное квантовое число, l – азимутальное квантовое число, m – магнитное квантовое число. (1) содержат три При данном n числа l и m могут принимать следующие значения: l = 0, 1, 2, …, n – 1, т. е. всего n – значений. m = – l, – l + 1, …, – 1, 0, + 1, … , l – 1, l. т. е. всего 2 l + 1 различных значений.

PS. С точки зрения «полуклассической» теории функция, описывающая движение электрона в атоме, представляет собой PS. С точки зрения «полуклассической» теории функция, описывающая движение электрона в атоме, представляет собой не одномерную, а пространственную волну, соответствующую трем степеням свободы электрона в пространстве, т. е. пространственная волна зависит от трех координат. В теории Бора наряду с круговыми орбитами рассматривались эллиптические орбиты (Зоммерфельд) и учитывалась возможность различной ориентации плоскости орбиты в пространстве. Главное квантовое число n характеризовало диаметр орбиты, азимутальное квантовое число l – степень ее вытянутости и магнитное квантовое число m – ориентацию нормали к плоскости орбиты и вектора ее магнитного момента Pm в пространстве. При данном радиусе и полной энергии En существовала целая группа орбит с различной степенью эллиптичности (разные l ) и различной ориентацией в пространстве (разные m).

Квантовая механика уточнила физический смысл квантовых чисел, которые стали вытекать из решения уравнения Шредингера Квантовая механика уточнила физический смысл квантовых чисел, которые стали вытекать из решения уравнения Шредингера без привлечения дополнительных постулатов. Итак, каждому En (кроме E 1) соответствует несколько волновых функций , отличающиеся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. О. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний называют кратностью вырождения энергетического уровня. Кратность вырождения вычисляют из возможных значений l и m: каждому из n значений квантового числа l соответствует 2 l + 1 значений квантового числа m. Далее, в таблице для 3 -х энергетических уровней приведены возможные состояния

Таблица Значение Уровень энергии En Собственная волновая функция Ψnlm n l m E 1 Таблица Значение Уровень энергии En Собственная волновая функция Ψnlm n l m E 1 Ψ 1, 0, 0 1 0 0 E 2 Ψ 2, 0, 0 Ψ 2, 1, -1 Ψ 2, 1, 0 Ψ 2, 1, +1 2 2 0 1 1 1 0 -1 0 +1 E 3 Ψ 3, 0, 0 Ψ 3, 1, -1 Ψ 3, 1, 0 Ψ 3, 1, +1 Ψ 3, 2, -2 Ψ 3, 2, -1 Ψ 3, 2, 0 Ψ 3, 2, +1 Ψ 3, 2, +2 3 3 3 3 3 0 1 1 1 2 2 2 0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2

Квантовые числа l и m определяют физические величины: l – определяет орбитальный момент импульса Квантовые числа l и m определяют физические величины: l – определяет орбитальный момент импульса электрона в атоме; m – определяет величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Для момента импульса из (1) получают операторное уравнение (2) Его решение: Для проекции момента импульса из (1) получают операторное уравнение (3) Его решение: Отсюда следует, что момент импульса электрона в атоме и его проекция так же как и энергия является квантовыми величинами.

В атомной физике приняты следующие условные обозначения состояний электрона: l = 0 – s В атомной физике приняты следующие условные обозначения состояний электрона: l = 0 – s – состояние l = 1 – p –состояние l = 2 – d – состояние l = 3 – f – состояние и т. д. по латинскому алфавиту. Поскольку l всегда меньше n возможны следующие состояния электрона 1 s, 2 p, 3 s, 3 p, 3 d, 4 s, 4 p, 4 d, 4 f, . . . В квантовой механике доказывается, что возможны только переходы, при которых (правило отбора).

Рис. 1. Рис. 1.

Переходы, соответствующие серии Лаймана (ультрафиолет): Серии Бальмера (видимый диапазон) соответствуют переходы и т. д. Переходы, соответствующие серии Лаймана (ультрафиолет): Серии Бальмера (видимый диапазон) соответствуют переходы и т. д. . Состояние 1 s – основное состояние атома водорода. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное, ему нужно сообщить энергию, либо ударом, либо нагревом. Атом не может поглотить часть фотона. Поскольку поглощающий атом обычно находится в основном состоянии, то спектр поглощения состоит из линий, соответствующих переходам: Этот результат полностью согласуется с опытом.

Собственные функции s-состояний (l = 0) оказываются не зависящими от углов θ и φ: Собственные функции s-состояний (l = 0) оказываются не зависящими от углов θ и φ: Вероятность найти электрон в тонком шаровом слое радиуса r толщиной dr имеет вид: Выражение представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра. На рис. приведены плотности вероятности для случаев 1) n = 1, l = 0; 2) n = 2, l = 1; 3) n = 3, l = 2. За единицу масштаба принят радиус 1 - ой Боровской орбиты.

ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМА ВОДОРОДА Рассмотрим s-состояние электрона в атоме водорода при n = 1. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМА ВОДОРОДА Рассмотрим s-состояние электрона в атоме водорода при n = 1. Волновая функция зависит только от r. Уравнение Шредингера принимает вид: Решение ищем в виде: где С – некоторая const, α 0 – параметр, имеющий размерность длины. Определим и, подставляя в уравнение Шредингера, получаем:

По теории дифференциальных уравнений справедливо для любых r при 2 -х условиях: это уравнение По теории дифференциальных уравнений справедливо для любых r при 2 -х условиях: это уравнение Из (2) следует, что это значение совпадает с 1 -м Боровским радиусом для атома водорода. Подставляя α 0 в выражение (1) для E 1 получаем: Это значение энергии основного состояния атома водорода, соответствующее n = 1, что совпадает с выражением для полной энергии электрона в атоме водорода по Бору! Рассмотрим определение вероятности того, что e в основном состоянии находится на расстоянии r от ядра, также – в интервале от r до r+dr, т. e. в шаровом слое объемом:

: Вероятность обнаружить e в объеме d. V: Подставляя выражение для основного состояния, получим: : Вероятность обнаружить e в объеме d. V: Подставляя выражение для основного состояния, получим: Постоянную C можно определить из условия нормировки для Откуда, после вычисления несобственного интеграла, можно получить: Для того чтобы определить максимальное расстояние rmax от ядра, где электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью необходимо определить max для (т. е. берем производную от и приравниваем к нулю). Откуда получаем: Таким образом, орбиты в атоме водорода по Бору представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

Опыт Штерна и Герлаха. Мультиплетность спектров и спин электрона. Цель: измерение магн. моментов атомов Опыт Штерна и Герлаха. Мультиплетность спектров и спин электрона. Цель: измерение магн. моментов атомов различных химических элементов. Идея: пропускать узкий пучок атомов водорода в s-состоянии (l=0 и соотв. момент импульса равен нулю) через неоднородное магнитное поле. Следовательно, магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона гиромагнитным соотношением также равен нулю. Таким образом, магнитное поле не должно влиять на движение атомов, т. е. расщепляться пучки не должны. Но эксперимент показывает их расщепление!!! Более того даже в отсутствии магнитного поля! спектральные линии водорода имеют тонкую структуру, являясь дублетами.

Исследования спектров щелочных металлов (Na) показали, что каждая линия излучения является двойной. Расщепление спектральных Исследования спектров щелочных металлов (Na) показали, что каждая линия излучения является двойной. Расщепление спектральных линий, очевидно, обусловлено расщеплением энергетических уровней. Для объяснения этого явления Гаудсмит и Уленбек выдвинули в 1925 году гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса -спином , который не связан с движением электронов в пространстве. Его величина определяется спиновым квантовым числом S. По аналогии с орбитальным механ. моментом импульса проекция спина квантуется так, что вектор может принимать 2 S+1 ориентации, а т. к. в опытах наблюдается только 2, то

Составляющая механического момента направлению имеет квантовые значения. по заданному Наряду с собственным механическим моментом Составляющая механического момента направлению имеет квантовые значения. по заданному Наряду с собственным механическим моментом электрон обладает и собственным магнитным моментом: Проекция магнетона Бора может иметь два значения: . Т. о. мультиплетность объясняется следующим образом. Момент атома (например, Na) определяется моментом импульса оптического электрона, который складывается из двух моментов: орбитального и спинового. Величина полного момента определяется еще одним квантовым числом j причем j может иметь значения:

где l и S – азимутальное и спиновые квантовые числа. Если , то и где l и S – азимутальное и спиновые квантовые числа. Если , то и Они соответствуют двум возможным взаимным ориентациям моментов и. Учитывая, что с механическими моментами связаны магнитные, то из-за взаимодействия магнитных моментов (спин- орбитальное взаимодействие) энергия состояний изменяется. Пример. Терм ряда(состояния) p (l = 1) распадается на два Каждый терм ряда d (l = 2) расщепляется на термы с Каждому терму ряда s (l = 0) соответствует только одно значение Поэтому термы ряда s не расщепляются. Ряд термов обозначают символами:

“ 2” вверху обозначает дуплет. Правый нижний индекс дает значение j. Верхний левый индекс “ 2” вверху обозначает дуплет. Правый нижний индекс дает значение j. Верхний левый индекс указывает на мультиплетность термов. Принцип Паули. Итак, состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами: главным n, азимутальным l, магнитным ml и спиновым ms. Принцип Паули. В одном и том же атоме не может быть двух электронов в стационарном состоянии, обладающих одинаковой совокупностью четырех квантовых чисел. Следствие: в состояниях с данным значением n могут находиться в атоме не более электронов: n = 1 могут иметь 2 электрона n = 2 могут иметь 8 электронов n= 3 могут иметь 18 электронов, и т. д.

Совокупность электронов, имеющих одинаковые n и l образуют оболочку. Совокупность оболочек с одинаковым n Совокупность электронов, имеющих одинаковые n и l образуют оболочку. Совокупность оболочек с одинаковым n образуют слой. n 1 2 3 4 5 6 7 … слой K L M N O P Q … Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атомов. Периодическая система элементов. Периодическая повторяемость свойств химических элементов обусловлена определенной периодичностью структуры электронных оболочек атомов. Четыре квантовых числа полностью характеризуют состояние одного электрона в поле атомного ядра, но для многоэлектронных атомов необходимо учесть принцип Паули, согласно которому не могут быть одновременно в одном и том же состоянии: в любой момент времени любое возможное состояние либо вакантно, либо занято одной частицей.

Рассмотрим многоэлектронный атом, заряд ядра которого равен Ze; вокруг ядра движется Z электронов. Электроны Рассмотрим многоэлектронный атом, заряд ядра которого равен Ze; вокруг ядра движется Z электронов. Электроны будут занимать в соответствии с принципом Паули, различные «орбиты» . Разобьем их по слоям, в соответствии со значением главного квантового числа n. n ℓ= 0 ℓ= 0 Максимальное s p d f g Число электронов 2 n². K 1 2 2 L 2 2 6 M 3 2 6 10 N 4 2 6 10 14 O 5 2 6 10 14 8 18 32 18 Состояние 2 p означает состояние с n = 2 и ℓ = 1; Состояние 4 s означает состояние с n = 4 и ℓ =0; 50

Рассмотрим таблицу Менделеева. Z = 1. Водород. 1 электрон в 1 s-состоянии Z = Рассмотрим таблицу Менделеева. Z = 1. Водород. 1 электрон в 1 s-состоянии Z = 2. Гелий. 2 электрона в 1 s-состоянии с противоположными спинами. Z = 3. Литий. В К-слое лития “вакансий” для 3 электронов нет. Третий электрон в невозбужденном атоме лития находится в L-слое. Этот внешний электрон движется в поле ядра, экранированного двумя электронами К-слоя, и сравнительно слабо связан с атомом.