Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione

Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 4 Derivati e Leverage

Contratti forward • L’acquirente al tempo t definisce l’acquisto al prezzo F di un lotto del titolo S, definito il sottostante, per consegna (delivery) al tempo T. • Al tempo T il valore del contratto per l’acquirente è la S(T) - F

• • Contratti forward: ingredienti Data dell’operazione 16/03/2005 Prezzo a pronti ENEL 7, 269 Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99, 66 Prezzo forward Enel: 7, 269/0, 9966 = 7, 293799 ≈ 7, 2938 • Posizione lunga (acquisto) in un contratto forward: acquisto di 10000 Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7, 2938. • Valore del contratto forward alla data 16/05/2005 10000 ENEL(15/09/2005) – 72938 • Esempio: se si verifica ENEL(15/09/2005) = 8 euro, la posizione lunga (chi ha acquistato il contratto forward) incasserà 80000 – 72938 = 7062 euro. Se invece il prezzo scenderà a 7 euro, la posizione lunga pagherà 70000 – 72938 = – 2938

Derivati e leverage Un altro esempio di arbitraggio • I contratti derivati implicano leverage • Alternativa 1 Forward 10000 ENEL a 7, 2938 €, 2 mesi Dopo 2 m. : Valore 10000 ENEL – 72938 • Alternativa 2 Acquisto 10000 ENEL con debito 72938 di valore nominale per rimborso a 2 mesi. Dopo 2 m. : Valore 10000 ENEL – 72938

Costruzione sintetica di un forward • Un posizione lunga/corta in un contratto lineare (un forward) è equivalente a una posizione dello stesso segno sul sottostante e una posizione di debito/credito per un ammontare pari al prezzo e scadenza alla data di consegna. • Nel nostro caso abbiamo che, alla data di origine dell’operazione, 16/03/2005, il valore del contratto forward CF(t) è CF(t) = 10000 x 7, 269 – 0, 9966 x 72938 ≈ 0 • All’origine il contratto forward vale zero per costruzione, perché il prezzo di consegna è fissato pari al prezzo forward.

Un giorno dopo… • • Data di valutazione: 17/03/2005 Prezzo a pronti ENEL 7, 340 Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99, 656 Prezzo di consegna (delivery price) osizione lunga (acquisto) in un contratto forward: acquisto di 10000 Enel forward per consegna il 16 maggio 2005 al prezzo di 7, 2938. • Valore del contratto forward 10000 ENEL(17/03/2005) – 0, 99656 x 72938 = 73400 – 72687 = 713 €

Contratti futures • Contratti lineari su mercati organizzati • Standardizzazione di prodotti e delivery dates • Scambio col meccanismo del “margine” – Deposito all’accensione della posizione – Regolamento giornaliero (marking-to-market) e attribuzione di profitti e perdite sul margine • Presenza della “clearing-house” • Esempio: il futures su Enel il 16/3/05 alla chiusura valeva 7, 290

Copertura del rischio • Consideriamo la seguente posizione – Lungo 10000 Enel (prezzo PEnel) – Corto forward su 10000 Enel a T mesi • Valore della posizione all’origine: 10000 PEnel – forward = 10000 PEnel – 10000 PEnel + v(t, T) [10000 PEnel /v(t, T)] = 10000 PEnel • Valore della posizione a 3 mesi 10000 PEnel/ v(t, T) • Il valore della posizione a tre mesi è uguale al prezzo forward di Enel. Abbiamo costruito sinteticamente un investimento privo di rischio

Speculazione • Consideriamo la seguente posizione – Lungo 1000 Enel (prezzo PEnel) – Lungo forward su 1000 Enel a T mesi • Valore della posizione all’origine: 1000 PEnel + forward = = 10000 PEnel + 10000 PEnel – v(t, T) [10000 PEnel /v(t, T)] = 10000 PEnel • Valore della posizione a T mesi 2000 PEnel – 1000 PEnel /v(t, T) • Abbiamo raddoppiato l’esposizione a Enel costruendo sinteticamente debito (leverage) pari a 1000 PEnel /v(t, T).

Prodotti non lineari: opzioni • Opzione call (put) europea: conferisce al tempo t il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare (vendere) al tempo T (tempo di esercizio) un’unità di S al prezzo K (strike o prezzo di esercizio). • Payoff della call a T: max(S(T) - K, 0) • Payoff della put a T: max(K - S(T), 0)

Valutazione di un’opzione call Tempo t Tempo T Prezzo H L Y(t) Y(H) Y(L) C (Y, t; T, K) v(t, T) Max(Y(H)-K, 0) Max(Y(L)-K, 0) 1 1

Esempio ispirato a Enel t = 16 marzo 2005 T = 16 maggio 2005 Enel (H) = 7, 500 v(T, T) = 1 Call (H) = 0, 100 Enel = 7, 269 v(t, T) = 0, 9966 Enel(L) = 7, 100 Call(Enel, t; 7, 400, T) = ? v(T, T) = 1 Call (L) = 0

Relazioni arbitraggio tra i prezzi • Consideriamo un portafoglio con Una posizione in unità di Y Un posizione di investimento/indebitamento W • Poniamo =[max(Y(H) –K, 0)–max(Y(L)–K, 0))]/(Y(H)– Y(L)) • Al tempo T Max(Y(H) – K, 0) = Y(H) + W Max(Y(L) – K, 0) = Y(L) + W

Opzioni Call • Per K ≥ Y(H) ≥ Y(L) il è uguale a zero. Di conseguenza anche W è uguale a zero. L’opzione è out-of-the-money, e non verrà esercitata. • Per Y(H) ≥ Y(L) ≥ K abbiamo = 1 e W = – K. L’opzione call è in-the-money e verrà esercitata con probabilità 1: per questo motivo corrisponde a una posizione lunga in un contratto forward. • Un’opzione call corrisponde a una posizione lunga nel sottostante finanziata con debito.

Call(Enel, 16/03/05; 7, 400, 16/05/05) • Consideriamo un portafoglio con = (0, 100 – 0)/(7, 500 – 7, 100) = 0, 25 Enel W = – 0, 25 x 7, 100 = – 1, 775 (leverage) • Notiamo che al tempo T C(H) = 0, 100 = 0, 25 x 7, 500 – 1, 775 C(L) = 0, 25 x 7, 100 – 1, 775 • Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione 16/03/05 sia Call(Enel, t) = 0, 25 x 7, 269 – 0, 9966 x 1, 775 = 0, 048285 • Una call su 10000 azioni Enel per strike price 7, 400 vale quindi 4828, 5 € e corrisponde a Una posizione lunga in 2500 azioni ENEL sul mercato a pronti Debito (leverage) per 17750 € di nominale al 16/05/05

Un altro esempio di arbitraggio Put-Call Parity • • • Portafoglio A: opzione call + v(t, T)Strike Portafoglio B: opzione put + sottostante Data di esercizio della call: T Prezzo strike call = Prezzo strike put Al tempo T: Valore A = Valore B = max(sottostante, strike) …da cui abbiamo che il valore dei portafogli A e B deve essere lo stesso in ogni t < T, che implica Call + v(t, T) Strike = Put + Sottostante

Opzioni put • Utilizzando la relazione di parità put-call è agevole ottenere Put = Call – Y(t) + v(t, T)K e dalla scomposizione precedente Put = ( – 1)Y(t) + v(t, T)(K + W) • Il risultato è che il delta di un’opzione put varia tra zero e – 1 e la posizione nel titolo privo di rischio varia tra zero e K.

Put(Enel, 16/03/05; 7, 400, 16/05/05) • Il valore delta della put e della posizione nel titolo privo di rischio sono – 1 = 0, 25 – 1 = – 0, 75 Enel K + W =7, 400 – 1, 775 = 5, 625 investimento nel titolo risk-free • Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione 16/03/05 sia Put(Enel, t) = – 0, 75 x 7, 269 + 0, 9966 x 5, 625 = 0, 154125 • Una contratto put su 10000 azioni Enel per strike price 7, 400 vale quindi 15412, 5 € e corrisponde a Una posizione corta in 7500 azioni ENEL a pronti Credito per 56250 € di nominale al 16/05/05