Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции у

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции у = ( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат. Теорема 1. Пусть функция у = ( х) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х х0 – 0 (слева) или при х х0 + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = ( х). Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция у = (х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ( х). Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция у = ( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой.

Тема: Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

приращение аргумента и функции Пусть дана функция у = (х). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разность х = х - х0 называется приращением аргумента х в точке х0. Разность у = у – у0 = (х)- (х0) называется приращением функции у = (х) в точке х0.

Определение производной Пусть функция у = (х) определена на промежутке Х. Возьмем точку х Х. Дадим значению х приращение х 0, тогда функция получит приращение у = ( х+ х ) - ( х ). Производной функции у = (х) называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при стремлении х к нулю. Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции у = (х) в точке х0 является значением функции ( х) в точке х0. Функция дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной Производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной), проведенной к кривой y=f(x) в точке х0. Уравнение касательной к кривой y=f(x) имеет вид:

Правила дифференцирования Производная постоянной равна нулю, т. е. С =0. Производная аргумента равна 1, т. е. х =1 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е. (u + v) = u + v. Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v) = u v + u v. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu) = Cu. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Производная сложной функции Теорема. Если у = f(u) и u = (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т. е у = (u)u. Пример.

Таблица производных № Функция у Производная у № Функция у 1 C 0 9 sin u 2 x 1 10 cos u 3 11 tg u 4 12 ctg u 5 13 arcsin u Производная у

Таблица производных № Функция у Производная у 6 lnu (1/u) u 14 arccos u 7 logau (1/ u lna) u 15 arctg u (1/(1+u 2)) u 8 un nun-1 u 16 arcctg u - (1/(1+u 2)) u Замечание. Если функция, которую надо продифференцировать, не является сложной, то мы в формулах будем полагать u = х, т. е. u – независимая переменная, а тогда u = 1.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка. Обозначение производных: ( х) второго порядка, ( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом: (n) ( х) – производная n-го порядка. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида [0/0] [ / ], то:

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x 0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. f′(x 0)=0. Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на [a, b]; дифференцируема на [a, b]; на концах отрезка принимает равные значения, т. е. f(a)= f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ε ( a, b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на [a, b]; дифференцируема на [a, b]. Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка С( a, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т. е.