Арифметика многократной точности (длинная арифметика) Бирюков С. В.
План лекции: ü Почему необходимо использовать длинную арифметику ü Ввод и представление длинных чисел ü Вывод длинных чисел ü Сравнение длинных чисел ü Сложение вычитание длинных чисел ü Умножение длинного числа на короткое ü Умножение двух длинных чисел ü Деление длинного числа на короткое ü Деление длинных чисел ü Извлечение квадратного корня из длинного числа ü Алгоритм быстрого деления чисел ü Алгоритм быстрого умножения чисел
Почему необходимо использовать длинную арифметику: z Во всех современных языках программирования реализованы типы данных для работы с достаточно большими вещественными и целыми числами. z Самый «большой» тип данных из доступных нам (С++ и Pascal) - 8 байтовое целое число – 2^64 (около 9*10^18). z 2^64 – это очень много. Просто чтобы сосчитать до него с помощью среднего компьютера, потребуется около 200000 часов. z Такого типа данных хватает практически всегда, если конечно речь не идет об олимпиадных задачах . z Не спасают и вещественные типы данных так как представляют число лишь с некоторой точностью. Это понятно из их представления в памяти ЭВМ. z Например, тип double имеет диапазон значений (-10 Е 307. . 10 Е 308). Однако он может хранить лишь несколько старших разрядов числа и его порядок. Именно поэтому он не пригоден в тех задачах, где необходим точный результат. z. Значит, необходимо самостоятельно реализовать нужные операции.
Представление длинных чисел: z Прежде всего, определимся как и в какой структуре данных будут храниться числа. z Любое число Х системе счисления по основанию В можно представить как Например, в привычной нам В=10: 4059 = 9*1 + 5*10 + 0*100 + 4 *1000 z То есть мы можем хранить каждую цифру в отдельном элементе массива и выполнять операции отдельно над цифрами. z Кроме того, мы можем выбрать основание системы максимально большим (например 10^9, вы можете выбрать любую), чтобы минимизировать число цифр, и соответственно число операций. z Будем хранить число как бы «наоборот» . Менее значимые разряды - в младших элементах массива. В нулевом элементе хранится длина числа. Х = 34029093267562367543543; В = 10^9 3 367543543 93267562 0 1 2 34029 3
Ввод длинных чисел: z Обычно длинные числа не вводятся непосредственно во входных данных к задаче, а формируются в процессе вычислений. Однако если нужно ввести длинное число, его нужно корректно расположить в структуре (в соответствии с принятой системой представления) z Будем использовать следующие обозначения во всех последующих процедурах: typedef long Big. Int[100]; Big. Int A, B, C; long Osn=100000; long len. Osn=9; z Идея ввода: Ввод> 34029|093267562|367543543| 3 367543543 93267562 0 1 2 34029 3
![Ввод длинных чисел: void Big. Int. Input(Big. Int A){ char in. Str[200]; char buf[10];](https://present5.com/presentation/-25804665_61371475/image-6.jpg "Ввод длинных чисел: void Big. Int. Input(Big. Int A){ char in. Str[200]; char buf[10];")
Ввод длинных чисел: void Big. Int. Input(Big. Int A){ char in. Str[200]; char buf[10]; int i, j, start. Pos, end. Pos; Init(A, 0); scanf("%s", in. Str); A[0]=strlen(in. Str)/len. Osn; if (strlen(in. Str)%len. Osn != 0) A[0]++; start. Pos=strlen(in. Str)-len. Osn; end. Pos=strlen(in. Str); for (i=1; i<=A[0]; i++){ if (start. Pos<0) start. Pos=0; for (j=0; j<(end. Pos-start. Pos); j++) buf[j]=in. Str[start. Pos+j]; buf[end. Pos-start. Pos]=' '; A[i]=atol(buf); end. Pos=start. Pos; start. Pos=end. Pos-len. Osn; } return; }
Вывод длинных чисел: z Проблема вывода длинных чисел заключается в том, что: • Выводить необходимо с конца массива. • Выводить необходимо фиксированное число разрядов (зависит от основания СС), за исключением первого выводимого элемента. Алгоритм вывода • Вывести последний элемент массива • Для всех элементов от предпоследнего до первого: - Если число разрядов меньше, дополнить элемент нулями слева - Вывести текущий элемент массива void Big. Int. Output(Big. Int A){ int len, i, j; char tmp[10]; len=A[0]; printf("%d", A[len]); for (i=len-1; i>0; i--){ sprintf(tmp, "%d", A[i]); for (j=0; j<len. Osn-strlen(tmp); j++) printf("0"); printf("%d", A[i]); } //for return; } // Big. Int. Output
Сравнение длинных чисел: Алгоритм сравнения • Если длины чисел не равны, сразу вернуть результат сравнения и выйти • Для всех элементов от последнего до первого: - Если текущие разряды не равны - Вернуть результат сравнения - Выйти • Вернуть признак равенства чисел int Сompare(Big. Int A, Big. Int B){ if (A[0]<B[0]) return -1; else if (A[0]>B[0]) return 1; for (i=A[0]; i>0; i--) if (A[i]<B[i]) return -1; else if (A[i]>B[i]) return 1; return 0; }
Сложение длинных чисел: Алгоритм сложения • Выберем длину числа-суммы как максимум из длин первого и второго числа • Проход от 1 до длины числа-суммы: • Суммируем текущий разряд двух слагаемых • Если сумма больше либо равна основанию СС, то • Делаем перенос в старший разряд • Если был перенос из последнего разряда числа-суммы, то • Увеличиваем на 1 длину суммы 567+972=1539 7 6 5 + 2 7 9 ------9 3 5 1
Сложение длинных чисел: void Add(Big. Int A, Big. Int B, Big. Int C){ long i, carry=0; C[0]=__max(A[0], B[0]); for (i=1; i<=C[0]; i++) { C[i]=A[i]+B[i]+carry; carry=C[i]/Osn; C[i]=C[i]%Osn; } //for if (carry>0) { C[0]++; C[C[0]]=carry; } return; }
Разность длинных чисел: Алгоритм вычитания • Будем всегда вычитать из большего числа меньшее • Выберем длину числа-разности как максимум из длин первого и второго числа • Проход от 1 до длины числа-разности: • Вычисляем разность в текущем разряде • Если разность в текущем разряде меньше нуля, то • Делаем заем из старшего разряда • Определяем длину числа-результата 972 -567=405 2 7 9 7 6 5 ------5 0 4
Разность длинных чисел: void Sub(Big. Int A, Big. Int B, Big. Int C){ long i, carry=0; C[0]=__max(A[0], B[0]); for (i=1; i<=C[0]; i++) { C[i]=A[i]-B[i]-carry; if (C[i]<0) { C[i]=C[i] + Osn; carry=1; } else carry=0; } //for while (C[C[0]]==0) C[0]--; if (C[0]<1) C[0]=1; return; } //sub if (compare(A, B)==-1) Sub(B, A, C); else Sub(A, B, C);
Умножение длинного числа на короткое: Алгоритм умножения • Проход от 1 до длины числа-разности: • Вычисляем произведение текущего разряда длинного числа и короткого числа • Добавляем к произведению перенос из предыдущего разряда • Вычислить перенос в следующий разряд • Вычислить значение, которое останется в текущем разряде • Если был перенос за последний разряд, увеличить длину результата 972*7 = 6804 2 7 9 * 7 -------4 0 8 6 + + 0 1 5 6
Умножение длинного числа на короткое: void Multon. Short(Big. Int A, long mnoj, Big. Int B){ __int 64 tmp; int i; long carry=0; B[0]=A[0]; for (i=1; i<=A[0]; i++){ tmp=(__int 64)A[i]*mnoj + carry; carry = tmp / Osn; B[i] = tmp % Osn; } if (carry>0) { B[0]++; B[B[0]]=carry; } return; }
Деление длинного числа на короткое: Алгоритм деления • Проход от длины числа до 1 • Вычисляем делимое в текущем разряде (с учетом остатка в предыдущем) • Делим делимое на короткое число. • Частное есть цифра текущего разряда результата • Сохраняем остаток для вычисления в следующем разряде • Определяем длину числа-результата 672/7 = 96 2 7 6 / 7 -------6 9 0 0 4 6
Деление длинного числа на короткое: void Divon. Short(Big. Int A, long divisor, Big. Int B){ __int 64 tmp; int i; __int 64 ost=0; B[0]=A[0]; for (i=A[0]; i>0; i--){ tmp = ost*Osn+A[i]; B[i] = tmp / divisor; ost = tmp % divisor; } while (B[B[0]]==0) B[0]--; if (B[0]<1) B[0]=1; return; }
Умножение двух длинных чисел: Алгоритм умножения • Для каждой i-ой цифры второго множителя: • Находим произведение первого множителя на i-ую цифру (длинное на короткое) • Сдвигаем результат на i-1 разрядов влево • Суммируем с текущим результатом умножения (сложение двух длинных) • Определяем длину числа-результата
Умножение двух длинных чисел: void Mult(Big. Int A, Big. Int B, Big. Int C){ int i 1, i 2, i 3; __int 64 tmp; Init(C, 0); for (i 1=1; i 1<=A[0]; i 1++) for (i 2=1; i 2<=B[0]; i 2++){ i 3=i 1+i 2 -1; tmp=(__int 64)A[i 1]*B[i 2]; while (tmp>0) { tmp = tmp + C[i 3]; C[i 3] = tmp % Osn; tmp = tmp / Osn; i 3++; } } for (i 1=maxlen-1; i 1>0; i 1 --){ if (C[i 1]!=0) { C[0]=i 1; return; } } C[0]=1; return; }
Деление двух длинных чисел: Алгоритм деления • Формируем начальное число из цифр делимого. Его длина на цифру меньше длины делителя (для общности) • Пока есть цифра делимого, который сносится в последний разряд текущего делимого: • Сносим цифру в последний разряд текущего делимого • Бинарным поиском подбираем цифру частного • Вычисляем произведение делителя на цифру • Вычисляем разность текущего делимого и произведения. Это есть новое текущее делимое • Определяем длину числа-результата 872/37 = 23 8 7 2 | 3 7 -----8 7 2 3 7 4 --1 3 2 1 1 1 ----2 1
Деление двух длинных чисел: void Div(Big. Int A, Big. Int B, Big. Int C){ Big. Int tmp, tmp 2, tmp 3; long digit, i, j, up, down, last_success; Init(C, 0); if (Compare(B, A)==1) return; for (j=1; j<=B[0]-1; j++) tmp[j]=A[A[0]-B[0]+j+1]; tmp[0]=B[0]-1; for (i=A[0]-B[0]+1; i>0; i--){ Shift(tmp, 1); tmp[1]=A[i]; //binary search up=Osn-1; down=0; while (up>=down){ digit=(up+down)/2; Init(tmp 2, 0); Multon. Short(B, digit, tmp 2); if (Compare(tmp, tmp 2)==-1) up=digit-1; else { down=digit+1; last_success=digit; } } //end of binary search Init(tmp 2, 0); Multon. Short(B, last_success, tmp 2); Sub(tmp, tmp 2, tmp 3); Copy(tmp 3, tmp); C[i]=last_success; } } C[0]=A[0]-B[0]+1; if (C[C[0]]==0) C[0]--; return;
Где найти дополнительную информацию: v http: //algolist. manual. ru - раздел «Длинные числа» . v Д. Кнут – Искусство программирования для ЭВМ. Том 2. v Ф. Меньшиков – Олимпиадные задачи по программрованию v С. М. Окулов – программрование в алгоритмах
Скачать презентацию Арифметика многократной точности длинная арифметика Бирюков С В
лекция-длинная арифметика.ppt