Арифметические и логические основы построения ЭВМ Системы счисления

Арифметические и логические основы построения ЭВМ Системы счисления q Булева алгебра q q q теория множеств логика высказываний

Системы счисления • Система счисления - совокупность приемов и правил записи и чтения чисел • Цифры - символы, использующиеся для записи чисел • Алфавит - полный набор цифр конкретной системы счисления Системы счисления непозиционные Пример римская система счисления Пример десятичная система счисления Алфавит: I, V, X, L, C, D, M Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Число: M MXIII Число: 777, 7

Позиционные системы счисления • Основание системы счисления q –количество цифр в алфавите данной системы счисления Название СС Основание Алфавит Двоичная 2 0, 1 Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Число в двоичной системе счисления – 1101, 012 Число в десятичной системе счисления – 1101, 0110 сокращенная форма записи числа

Позиционные системы счисления • Сокращенная запись числа Xq • Развернутая запись числа Xq где xi – цифра, q – основание системы счисления, n - число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа Число qi называют весом цифры xi • Разряд - номер позиции цифры в записи числа

Позиционные системы счисления • Алгоритм перевода числа из любой системы счисления в десятичную: 1) записать развернутую форму записи данного числа 2) вычислить полученное выражение согласно правилам десятичной арифметики

Позиционные системы счисления • Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в любую другую: (метод последовательного деления) 1) разделить данное число на основание новой СС зафиксировать целое частное и остаток от деления 2) если полученное частное больше основания новой СС, то снова разделить частное на основание и вновь зафиксировать целое частное и остаток от деления 3) повторять процесс до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой СС 4) полученные остатки привести в соответствие с алфавитом новой СС 5) записать последнее частное и полученные остатки в обратном порядке в ряд слева направо

Позиционные системы счисления • Алгоритм перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в любую другую: (метод последовательного умножения) 1) умножить данную дробь на основание новой СС зафиксировать целую и дробную часть полученного числа 2) если полученная дробная часть не равна нулю, то снова умножить дробь на основание и вновь зафиксировать целую и дробную часть полученного числа 3) повторять процесс до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность вычислений 4) записать полученные целые части в прямой последовательности в ряд слева направо

Позиционные системы счисления • Алгоритм перевода производного числа из десятичной системы счисления в любую другую: 1) перевести целую часть числа в новую систему счисления 2) перевести дробную часть числа в новую систему счисления 3) записать результат, отделив целую часть от дробной запятой

Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления • Преимущества двоичной системы счисления с точки зрения конструирования и функционирования ЭВМ: – для реализации двоичной системы счисления нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями – представление информации посредством только двух состояний более надежно и помехоустойчиво – возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации, – двоичная арифметика намного проще десятичной

Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления • Недостатки двоичной системы счисления: – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел – запись чисел в двоичной системе счисления неудобна для восприятия человеком Решаются использованием шестнадцатеричной системы счисления • Система счисления называется родственной двоичной, если ее основание является степенью числа 2

Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления • Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: 1) разбить исходное число на тетрады, двигаясь от запятой влево и от запятой вправо если количества цифр исходного числа не хватает для образования последних тетрад, то дополнить его слева и/или справа незначащими нулями 2) заменить каждую тетраду соответствующей ей цифрой шестнадцатеричной системы счисления

Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления Двоичная система счисления Шестнадцатеричная система счисления 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления • Алгоритм перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: 1) заменить каждую цифру данного числа на соответствующую ей тетраду двоичных цифр 2) отбросить в получившемся числе незначащие нули

Двоичная арифметика • Таблица сложения в двоичной системе счисления: + 0 1 0 0 1 10 • Таблица умножения в двоичной системе счисления: * 0 1 0 0 0 1

Шестнадцатеричная арифметика • Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления: + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A A B B C C D D E E F F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C 1 D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E

Шестнадцатеричная арифметика • Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления: * 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E 2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1 A 1 C 1 E 3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1 B 1 E 21 24 27 2 A 2 D 4 0 4 8 C 10 14 18 1 C 20 24 28 2 C 30 34 38 3 C 5 0 5 A F 14 19 1 E 24 28 2 D 32 37 3 C 41 46 4 B 6 0 6 C 12 18 1 E 24 2 A 30 36 3 C 42 48 4 E 54 5 A 7 0 7 E 15 1 C 23 2 A 31 38 3 F 46 4 D 54 5 B 62 69 8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 12 1 B 24 2 D 36 3 F 48 51 5 A 63 6 C 75 7 E 87 A 0 A 14 1 E 28 32 3 C 46 50 5 A 64 6 E 78 82 8 C 96 B 0 B 16 21 2 C 37 42 4 D 58 63 6 E 79 84 8 F 9 A A 5 C 0 C 18 24 30 3 C 48 54 60 6 C 78 84 90 9 C A 8 B 4 D 0 D 1 A 27 34 41 4 E 5 B 68 75 82 8 F 9 C A 9 B 6 C 3 E 0 E 1 C 2 A 38 46 54 62 70 7 E 8 C 9 A A 8 B 6 C 4 D 2 F 0 F 1 E 2 D 3 C 4 B 5 A 69 78 87 96 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1

Элементы теории множеств • Множество – совокупность объектов или понятий, объединенных общим свойством A={a, b, c} • Элементы – объекты, составляющие множество, называются элементами • – знак принадлежности элемент x принадлежит множеству A: x A элемент x не принадлежит множеству A: x A

Элементы теории множеств • Множество можно задать – перечислением A 1={2, 4, 6, 8, 10} – описанием с указанием характеризующего всего элементы множества свойства A 2={x N | x⋮ 2 и x 10}

Элементы теории множеств • Множество B называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества B является элементом множества A • Знак называется знаком включения множество B является подмножеством множества A: B A или A B множество B не является подмножеством множества A: B A A A B B A B диаграммы (круги) Эйлера-Венна B A

Элементы теории множеств • Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента Обозначение: • Множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов Обозначение: A=B • Универсальное множество – множество, по отношению к которому в данный момент все остальные множества являются подмножествами U A Обозначение: U B

Элементы теории множеств • Пересечением множеств A и B называется множество C, состоящее из всех общих элементов множеств A и B С={x | x A и x B} Обозначение: С=A B Знак - знак пересечения множеств U A B

Элементы теории множеств • Объединением множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов множества A и всех элементов множества B С={x | x A или x B} Обозначение: С=A B Знак - знак объединения множеств U A B

Элементы теории множеств • Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B С={x | x A и x B} Обозначение: С=AB Знак - знак разности множеств U A B

Элементы теории множеств • Дополнением множества A называется разность между универсальным множеством и множеством A Обозначение: U A

Элементы теории множеств • Дополнением множества A называется разность между универсальным множеством и множеством A Обозначение: U A

Элементы теории множеств Свойства операций над множествами: • свойства операции объединения разности пересечения • Законы де Моргана

Элементы логики высказываний • Логическое высказывание – повествовательное предложение, утверждающее о чем-либо, в отношении которого можно точно сказать истинно оно либо ложно • Простое (элементарное) высказывание – высказывание, представляющее из себя одно утверждение Обозначение: a, b, c, … Высказывание a истинно: a=1 Высказывание a ложно: a=0 Простое (составное) высказывание – высказывание, составленное из простых высказываний с помощью логических связок «не» , «или» , «если …, то» , «тогда и только тогда»

Элементы логики высказываний • Отрицание (инверсия) – операция, выражаемая связкой «не» Обозначение: a или ā a a 0 1 1 0 Высказывание a истинно, если высказывание a ложно, и ложно, если высказывание a истинно

Элементы логики высказываний • Конъюнкция (логическое умножение) – операция, выражаемая связкой «и» Обозначение: a·b или a b a 0 0 1 1 b a b 0 0 1 0 0 0 1 1 Высказывание a b истинно, если оба высказывания a и b истинны и ложно, если хотя бы одно из них ложно

Элементы логики высказываний • Дизъюнкция (логическое сложение) – операция, выражаемая связкой «или» Обозначение: a+b или a b a 0 0 1 1 b a b 0 0 1 1 1 Высказывание a b ложно, если оба высказывания a и b ложны, и истинно, если хотя бы одно из них истинно

Элементы логики высказываний • Импликация – операция, выражаемая связкой «если …, то» Обозначение: a→b a – условие, b – следствие a 0 0 1 1 b 0 1 a→b 1 1 0 1 Высказывание a→b ложно, если условие a истинно, а следствие b ложно, и истинно во всех остальных случаях

Элементы логики высказываний • Эквивалентность (двойная импликация) – операция, выражаемая связкой «тогда и только тогда» Обозначение: a↔b a 0 0 1 1 b 0 1 a↔b 1 0 0 1 Высказывание a↔b истинно, если оба высказывания a и b либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложно во всех остальных случаях

Элементы алгебры логики • Логическая формула – сложное высказывание, полученное из простых высказываний и логических констант (1 и 0) посредством применения к ним операций инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности • Соглашение о старшинстве операций – логические операции выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1) инверсия, 2) конъюнкция, 3) дизъюнкция, 4) импликация, 5) эквивалентность (a b) c→ a b 1 2 5 3 4

Элементы алгебры логики • Таблица истинности – таблица, показывающая какие значения примет логическая формула при всех возможных сочетаниях значений истинности входящих в нее переменных 1 2 5 3 4 (a b) c→ a b 0 0 0 1 0 1 1 1 1 с a b (a b) c a a b (a b) c→ a b 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1

Элементы алгебры логики • Тавтология (тождественно истинная формула) – логическая формула, принимающая значение «истина» при любых значениях истинности входящих в нее переменных a a 0 1 1 1 0 1 a a 0 1 0 0 закон исключения третьего закон противоречия • Противоречие (тождественно ложная формула) – логическая формула, принимающая значение «ложь» при любых значениях истинности входящих в нее переменных

Элементы алгебры логики • Равносильные формулы – две логические формулы, принимающие одинаковые значения при одинаковых значениях истинности входящих в них переменных • Обозначение: ( a) a a a a 0 1 0 1 0 1 закон снятия двойного отрицания

Элементы алгебры логики Основные законы алгебры логики: • коммутативный a b b a, a b b a • ассоциативный a (b с) (a b) с, a (b с) (a b) с • дистрибутивный a (b с) (a b) (a с), a (b с) (a b) (a с) • законы де Моргана (a b) a b, (a b) a b

Элементы алгебры логики Равносильные формулы, выражающие одни логические операции через другие: • (a b) (a→b) (b→a) • a→b a b • (a b) a b Достаточно только две операции: • конъюнкция и инверсия • дизъюнкция и инверсия

Понятие о булевой алгебре Непустое множество элементов любой природы M={x, y, z, …} в котором • выделены два элемента: 0 и 1 • определено отношение равенства (=) • заданы три операции: сложение (+), умножение (·), отрицание (ˉ) такие что для любых x, y, z из M будут выполнены аксиомы • коммутативность: x+y=y+x, x·y=y·x • ассоциативность: x+(y+z)=(x+y)+z, x·(y·z)=(x·y)·z • дистрибутивность: x·(y+z)=(x·y)+(x·z), (y·z)=(x+y)·(x+z) • законы поглощения: x+(y·x)=x, x·(y+x)=x • законы дополнения: называется булевой алгеброй

Понятие о булевой алгебре Теория множеств и логика высказываний – интерпретация булевой алгебры Булева алгебра Теория множеств Логика высказываний элементы x, y, z, … = + · ˉ 0 1 множества A, B, C, … равенство множеств = объединение пересечение дополнение пустое множество универсальное множество U высказывания a, b, c, … равносильность дизъюнкция конъюнкция инверсия ложь истина