Аппроксимация характеристик нелинейных резистивных элементов Задача аппроксимации

Аппроксимация характеристик нелинейных резистивных элементов

Задача аппроксимации Вольт-амперные характеристики реальных элементов электрических цепей обычно имеют сложный вид и представляются в виде графиков или таблиц экспериментальных данных. В ряде случаев непосредственное применение ВАХ, задаваемых в такой форме, оказывается неудобным и их стремятся описать с помощью достаточно простых аналитических соотношений, хотя бы качественно отражающих характер рассматриваемых зависимостей. Замена сложных функций приближенными аналитическими выражениями называется аппроксимацией (от лат. approximare ‒ приближаться).

Задача аппроксимации Аналитические выражения, аппроксимирующие ВАХ нелинейных резистивных элементов, для повышения точности и достоверности анализа должны как можно более точно описывать ход реальных характеристик. Однако повышение точности аппроксимации приводит, как правило, к усложнению аппроксимирующих выражений, что затрудняет как определение значений входящих в эти выражения коэффициентов, так и применение этих выражений для анализа цепи. В связи с тем, что характеристики однотипных нелинейных резистивных элементов отличаются друг о друга за счет производственного разброса параметров и погрешности измерений, нецелесообразно стремиться получить аппроксимирующие выражения, точность которых превышает точность определения характеристик отдельных элементов и пределы их производственного разброса.

Задача аппроксимации Таким образом, при решении задачи аппроксимации так же, как и при решении любой задачи, связанной с выбором расчетной модели, необходимо идти на компромисс между точностью и сложностью модели.

Задача аппроксимации Успешное решение задачи аппроксимации в значительной степени зависит от ширины аппроксимируемой области ВАХ, т. е. от диапазона, в котором могут изменяться токи и напряжения исследуемого элемента. Как правило, чем уже область аппроксимации, тем более простой функцией может быть описана соответствующая ВАХ. Задача аппроксимации ВАХ включает в себя две самостоятельные задачи: выбор аппроксимирующей функции и определение значений входящих в эту функцию постоянных коэффициентов.

Выбор аппроксимирующей функции Функцию, аппроксимирующую ВАХ какого-либо нелинейного резистивного элемента, выбирают либо, исходя из физических представлений о работе данного элемента, либо чисто формально, основываясь на внешнем сходстве ВАХ с графическим изображением той или иной функции. Для аппроксимации ВАХ используют как элементарные, так и различные трансцендентные функции, а также степенные, экспоненциальные и тригонометрические полиномы и кусочно-линейные функции.

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции

Выбор аппроксимирующей функции Пример 1 На рисунке изображена прямая ветвь ВАХ полупроводникового диода. Проверим, можно ли аппроксимировать эту характеристику полиномом второй степени

Выбор аппроксимирующей функции Пример 1 Выбираем шаг изменения аргумента h=0, 2 В, рассчитываем значения вспомогательной переменной соответствующие выбранным значениям аргумента (рисунок). Как видно из рисунка, зависимость S от X практически совпадает с линейной при изменении X=x=u в пределах от 0 до 1 В. Следовательно, в этой области рассматриваемая ВАХ может быть аппроксимирована полиномом второй степени

Выбор аппроксимирующей функции Пример 2 Проверим, можно ли аппроксимировать ВАХ диода с помощью экспоненциального полинома вида.

Выбор аппроксимирующей функции Пример 2

Выбор аппроксимирующей функции Пример 2 Как видно из рисунка в пределах от X=0 до X=1 зависимость S(X) практически совпадает с линейной, следовательно, в этой области ВАХ может быть аппроксимирована экспоненциальным полиномом рассматриваемого типа. Из приведенных примеров следует, что задача выбора аппроксимирующей функции не имеет единственного решения.

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции Рассмотрим кратко основные методы определения коэффициентов аппроксимирующей функции. Наиболее часто для этой цели используют метод выбранных точек, в соответствии с которым коэффициенты аппроксимирующей функции находят, исходя из совпадения значений этой функции со значениями аппроксимируемой функции в ряде заранее выбранных точек, называемых узлами интерполяции (от лат. interpolate — подновлять).

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции Очевидно что такой выбор коэффициентов действительно обеспечивает совпадение значений аппроксимируемой и аппроксимирующей функций в узлах интерполяции, однако в промежутках между ними погрешность аппроксимации может быть весьма существенной (информация о ходе аппроксимирующей функции в них не учитывается), что является недостатком этого метода.

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции В отличие от метода выбранных точек метод наименьших квадратов обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений ξ значений аппроксимирующей функции значений исходной функции в произвольном числе точек m, не связанном с числом неизвестных коэффициентов n+1:

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции Приравнивая нулю первые производные ξ по каждому из коэффициентов, получаем систему из n+1 уравнении для определения n+1 неизвестных числовых значений коэффициентов:

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

Определение коэффициентов аппроксимирующей функции