АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Игнатюк В И Игнатов А Ю

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Игнатюк В. И. Игнатов А. Ю.

Часто в результате экспериментальных данных или расчетов получаем зависимость f(x) в виде определенного числа точек (в виде дискретного множества). То есть для функции неизвестна зависимость, а известны только некоторые её промежуточные результаты.

Получению зависимостей для таких функций в требуемой области служит задача об аппроксимации функций.

Аппроксимация функций – это нахождение функции φ(x), максимально близкой действительной функции f(x), так чтобы её отклонение, по крайней мере, в заданной области изменения аргумента x было наименьшим. Функцию φ(x) называют аппроксимирующей.

Для аппроксимации часто используют многочлены вида: где коэффициенты ai подбирают из определенных условий так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от действительной функции.

ВИДЫ АППРОКСИМАЦИЙ: 1) точечная аппроксимация (если приближение строится на дискретном множестве точек):

2) непрерывная или интегральная аппроксимация (если приближение строится для непрерывной функции на некотором отрезке [a, b]):

Точечная аппроксимация

Одним из основных видов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: задаем многочлен φ(x), которой должен принимать в известных точках xi те же значения yi , что и заданные дискретной функцией y = f(x); то есть в этих точках должно быть y(xi) = yi , i = 1, 2, 3.

Точки xi называются узлами интерполяции, Многочлен y(x) называется интерполирующим многочленом. Интерполяция может быть: • глобальной - на всем участке изменения аргумента х; • локальной (кусочной) – на отдельных участках изменения функции.

В случае большого количества точек, часто невозможно найти многочлен, который бы проходил через все эти точки (тем более, что и при экспериментальных вычислениях этих точек могут быть погрешности и ошибки). В этих случаях находят такой многочлен, который проходил бы максимально близко от заданных точек. Понятие «близко» оценивается разными путями.

Одной из распространенных мерой отклонения многочлена φ(x) от задания функции f(x) является среднеквадратичное приближение, определяемое выражением: Задача состоит в подборе интерполирующего многочлена таким образом, чтобы S было наименьшим.

Приближение функции φ(x) к f(x) может оцениваться и на основе абсолютного отклонения: либо вводят понятие среднеквадратичного отклонения: для которых задают определенную допустимую величину отклонений

В зависимости от максимальной степени задаваемого многочлена различают: • линейную интерполяцию; • квадратичную (параболическую) интерполяцию.

1. Линейная интерполяция Заданные точки соединяют прямыми линиями, получая в общем случае ломаную линию.

Уравнение каждого из отрезков определяется уравнением прямой, проходящей через две точки: откуда можно получить уравнение прямой в классическом виде: где:

2. Квадратичная (параболическая) интерполяция Задается на отрезке трех точек (например, от xi-1 до xi+1 ) в виде:

Уравнение содержит три константы, для определения которых необходимо составить три уравнения, в качестве которых используются соответствующие ординаты трех точек:

Решается полученная система трех уравнений и определяются значения констант аппроксимации ai, bi, ci.

С помощью такой интерполяции можно, например, строить эпюру изгибающих моментов на участке (в стержне) действия распределенной нагрузки, когда мы имеем значения изгибающих моментов по краям и в середине участка (стержня). Нам известно, что изгибающий момент на таком участке действительно изменяется по параболической зависимости, поэтому результат будет точным.

Задаем аппроксимирующую функцию в виде: В качестве условий для нахождения функции используем известные значения этой функции в трех точках (двух крайних и средней):

а) б) где определяется зависимостью:

в) Решаем два последних уравнения:

Отнимая из второго уравнения первое, получим: откуда выразим с:

Из второго уравнения теперь найдем b: В результате получаем:

3. Кубическая интерполяция Широкое распространение для интерполяции получило использование кубических сплайнфункций – специально построенных многочленов третьей степени, представляющих собой математическую модель изгиба упругого стержня при заданных условиях поворотов его концов (углов α и β ).

Форма изгиба стержня (функция интерполяции) при этом определяется из условия минимума потенциальной энергии стержня, деформирующегося в заданных условиях.

4. В общем случае для n точек можно просто на участке [ x 0 , xn ] задать полином n-ой степени Подставив затем все точки, получим систему n уравнений для определения всех. Нужно иметь n условий для определения констант ai.

5. Другие варианты задачи многочленов Например: • в виде многочлена Ньютона, • в виде многочлена Лагранжа, • в виде функций Эрмита (в методе конечных элементов) • и т. д.

Заметим также, что часто для определения констант многочленов используются условия, исходящие из условий физического поведения объектов (в том числе, как уже указывалось, из условий минимума энергии).