Apa sub acţiunea gravitaţiei coboară de obicei pe panta cu cel mai mare gradient, alegând cea mai scurtă şi mai rapidă traiectorie.
Cuvântul meandre provine de la râul Menderes din Turcia binecunoscut în antichitate pentru numărul mare de meandre pe care le are. Caracteristicile meandrelor: Rc- raza de curbură λ – lungimea de undă L – lungimea meandrului W- lăţimea meandrului
Meandrele fluviului Colorado
Meandrele râului Somes lângă Cluj (între Apahida şi Bonţida)
Accident de tren, Greenville, South Carolina, 1965 O lamă de oţel “alege” curba ce minimează efortul la îndoire
Formarea unui meandru Meandre pe râul Willamette
B A Găsiţi curbele între A şi B de lungime dată L care au curbura medie minimă: sau determinaţi funcţiile φ(l) care au integrala de mai sus minimă.
Metoda multiplicatorilor Lagrange pt. sisteme cu constrângeri (coordonatele punctului B sunt fixate) Minimizarea integralei după F(φ) ne conduce la ecuaţia Euler: Sau la o ecuaţie diferenţială de gradul II în φ(l):
Soluţia ecuaţiei nu se poate exprima prin funcţii analitice, ci implicit printr-o integrală: Pt. valori mici ai lui φ şi ω soluţia se reduce la: Integrând şi fixând constantele: Avem soluţia finală:
Curba meandrelor (x(t), y(t)) generată de funcţia sinus
Fluviul Mississippi lângă Greenville Blackrock Creek lângă Wyoming
K=L/ λ Cele mai multe râuri au K ≈ 1. 5 Rc=L/(6 ω) Cele mai multe râuri au Rc/W între 2 -3 Caracteristicile meandrelor: Rc- raza de curbură λ – lungimea de undă L – lungimea meandrului W- lăţimea meandrului
Paradoxul este că avem o problemă globală (determinarea curbei care o curbură medie minimă) şi nu una locală: Cum ştie nisipul să se depună local în aşa fel încât să formeze meandre care sunt o proprietate globală a râului? Avem o simetrie emergentă care la nivel local este conţinută implicit în modul de depunere al nisipului dar nu se manifestă explicit decât la nivel global unde o putem observa O rezolvare ar consta într-un random walk în care la fiecare pas se alege la întâmplare un alt unghi. Curbura medie poate fi f. diferită de la o curbă la alta, dar dacă considerăm multe random walk-uri vom obseva că în medie avem o curbă care un meandru (cu galben).
A. Einstein, paradoxul frunzelor de ceai şi meadrele râurilor
Arătaţi că suprafaţa ceaiului este parabolică La distanţe egale de axă, vitezele unghiulare ale particulelor de apă sunt aceleaşi (fără frecare). Din cauza frecării cu baza, particulele de jos sunt mai încete decât cele de la suprafaţa lichidului. Particulele de jos sunt atrase de spre centrul axei, iar particulele de la suprafaţă sunt împinse spre pereţi.
Vibeke Gletscher în Groenlanda Mecanismul intern al formării meandrelor nu este suficient de clar pt. că există meandre ale apei în gheţari unde nu se depun aluviuni.
Meandre asimetrice şi uniforme
Chiar şi Gulfstream are meandre (apă caldă în apă rece).
Appendix:
Bibliografie: Einstein, Albert (March 1926) The Cause of the Formation of Meanders in the Courses of Rivers and of the So-Called Baer’s Law http: //www. ucalgary. ca/~kmuldrew/river. html Leopold, L. B. , Langbein, W. B. (1966). River Meanders. Scientific American 214, p. 60 -70. http: //eps. berkeley. edu/people/lunaleopold/(098)%20 River%20 Meanders%20 -%20 Sci%20 Langbein, W. B. , and Leopold, Luna B. , 1966, River Meanders. Theory of Minimum Variance, U. S. Geological Survey Professional Paper 422 -H, 18 p. http: //eps. berkeley. edu/people/lunaleopold/(095)%20 River%20 Meanders%20 -%20 Theory Nitsa Movshovitz-Hadar Alla Shmukler, River Meandering and a Mathematical. Model of this Phenomenon, Physicalplus (Israel Physical Society) http: //physicaplus. org. il/zope/home/en/1124811264/1141060775 rivers_en Brian Hayes, Meandering through a classic theory of why rivers meander, American Scientist, (2006), 94, 6, p. 490 http: //www. americanscientist. org/issues/pub/up-a-lazy-river L. G. Aslamazov, A. A. Varlamov, A. A. Abrikosov, The Wonders of Physics How river bends change, World Scientific.
Скачать презентацию Apa sub acţiunea gravitaţiei coboară de obicei pe
58cba76da707ff01eac394d652500992.ppt