Analysis Sets The individual objects

Analysis Sets The individual objects of the set are called members or elements. Any part of a set is called a subset of the given set. The set consisting of no elements is called the empty set or null set. Отдельные объекты множества называются членами или элементами. Любая часть множества называется подмножеством данного множества. Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством. 1 object объект member член element элемент subset подмножество given данный empty пустой null нуль

Real Numbers The number system based on the symbols 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 is called a base ten system. Система счисления, основанная на символах, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 называется десятичной системой счисления. 2 real действительный based основанный symbol символ base основание real действительный based основанный symbol символ 0 1 2 3 9 7 2 357 7 10 5 10 3 10.

Natural numbers 1, 2, 3, 4, . . . , also called positive integers , are used in counting members of a set. The sum a + b and product a ・ b or ab of any two natural numbers a and b is also a natural number. The set of natural numbers is closed under the operations of addition and multiplication , or satisfies the closure property with respect to these operations. 1. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, . . . , называемые также положительными целыми, используются при подсчете членов множества. Сумма а + b и произведение а · b или аb любых двух натуральных чисел а и b также натуральное число. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения, или удовлетворяет свойству замкнутости относительно этих операций. 3 natural натуральный positive положительный integer целый count считать operation операция closure замкнуьый property свойство with respect to по отношению к

Integer numbers 2. Negative integers and zero, denoted by – 1, – 2, – 3, . . . , and 0, respectively, arose to permit solutions of equations such as x + b = a , where a and b are any natural numbers. This leads to the operation of subtraction , or inverse of addition , and we write x = a – b. The set of positive and negative integers and zero is called the set of integers. 2. Отрицательные числа и ноль, обозначаемые -1, -2, -3, . . . , , и 0, соответственно, возникли для обеспечения решения уравнений, таких как x + b = a , где а и b – любые натуральные числа. Это приводит к операции вычитания или обращению сложения, и мы пишем x = a – b. Множество положительных и отрицательных чисел и нуля, называется множеством целых чисел. . 4 negative отрицательный arose возникать permit позволять lead вести subtraction вычитание

Rational numbers 3. Rational numbers or fractions such as 2/3 , 5/4, . . . arose to permit solutions of equations such as bx = a for all integers a and b , where b _ 0. This leads to the operation of division , or inverse of multiplication , and we write x = a/b or a ÷ b, where a is the numerator and b the denominator. The set of integers is a subset of the rational numbers, since integers correspond to rational numbers where b = 1. 3. Рациональные числа или дроби, такие как 2/3 , 5/4, . . . , возникли, чтобы позволить решения уравнений, таких как bx = a для всех целых чисел а и b , где b _ 0. Это приводит к операции деления, или обращения умножения, и мы пишем x = a/b или a ÷ b, где a , где а – числитель и b – знаменатель. Множество целых чисел есть подмножество рациональных чисел, так как целые числа соответствуют рациональным числам, в которых b = 1. . 5 rational рациональный fractions дробь division деление numerator числитель denominator знаменатель

Irrational numbers 4. Irrational numbers such as and π are numbers which are not rational; i. e. , they cannot be expressed as a/b (called the quotient of a and b ), where a and b are integers and b 0. The set of rational and irrational numbers is called the set of real numbers. 4. Иррациональные числа, такие как и π – числа, которые не являются рациональными; т. е. они не могут быть выражены в виде a/ b (называемому частным а и b ), где а и b целые и b 0. Множество рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел . 6 irrational иррациональный express выражать quotient частное

Geometric Representation of Real Numbers The geometric representation of real numbers as points on a line, called the real axis. Геометрическое представление вещественных чисел как точек на линии, называемой действительной осью. . 7 geometric геометрический representation изображение point точка line линия axis ось

Geometric Representation of Real Numbers For each real number there corresponds one and only one point on the line, and, conversely, there is a one-to-one correspondence between the set of real numbers and the set of points on the line. Because of this we often use point and number interchangeably. Для каждого вещественного числа соответствует одна и только одна точка на линии, и, наоборот, существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на линии. Из-за этого мы часто используют точку и число взаимозаменяемо. . 8 each каждый one and only one одна и только одна conversely наоборот one-to-one correspondence взаимно-однозначное соответствие between между because потому что often часто interchangeably взаимозаменяемо

Geometric Representation of Real Numbers The set of real numbers to the right of 0 is called the set of positive numbers, the set to the left of 0 is the set of negative numbers , while 0 itself is neither positive nor negative. Множество действительных чисел справа от 0 называется множеством положительных чисел, множество слева от 0 – множеством отрицательных чисел, в то время как 0 само по себе не является ни положительным, ни отрицательным. 9 to the right of … справа от … to the left of … слева от … neither … nor ни … ни…

Operations with Real Numbers If a , b , c belong to the set R of real numbers, then: . Если a , b , c принадлежат множеству R of действительных чисел, тогда: 101 a + b and ab belong to R Closure law Закон замыкания 2. a + b = b + a Commutative law of addition Коммутативный закон для сложения 3 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Associative law of addition Ассоциативный закон для сложения 4 ab = ba Commutative law of multiplication Коммутативный закон для умножения 5 a ( bc ) = ( ab ) c Associative law of multiplication Ассоциативный закон для умножения 6 a ( b + c ) = ab + ac Distributive law Дистрибутивный закон 7 a + 0 = 0 + a = a , 1 ・ a = a ・ 1 = a belong принадлежать closure замыкание commutative коммутативнный law закон associative ассоциативный distributive дистрибутивный

Inequalities If a – b is a nonnegative number, we say that a is greater than or equal to b or b is less than or equal to a , and write, respectively, a > b or b b or b b if the point on the real axis corresponding to a lies to the right of the point corresponding to b. Неравенства Если a – b неотрицательное число, мы говорим, что a больше или равно b или b is меньше или равно a , и пишем, соответственно, a > b или b b или b b если точка на действительной оси, соответствующая a лежит справа от точки, соответствующей b. 11 inequality неравенство nonnegative неотрицательный great большой greater than or equal больше или равно less than or equal меньше или равно lie лежать inequality неравенство