Анализ Временных Рядов Эконометрика Основные понятия l

Анализ Временных Рядов Эконометрика

Основные понятия l l динамический ряд - Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака) временной ряд: время - признак, в зависимости, от которого происходит упорядочение длина временного ряда - время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного (n) уровень временного ряда - значение показателя в каждый конкретный момент времени Y(t), (t =1, 2, …n) Воздействие факторов факторы, формирующие тенденции ряда тренд - проявление длительной тенденции изменения экономического показателя T(t) (Рис. «Численность населения Австралии» ) l факторы, формирующие циклические колебания ряда Циклические колебания (конъюнктурные, не сезонные) - изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической или демографической природы С(t) Сезонные колебания - сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряд отраслей экономики зависит от времени года (объем пассажироперевозок, цены на сельхозпродукты) S(t) l случайные факторы Cлучайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации колебания. Обусловливает стохастическую природу элементов Е(t) (Рис. «Уровень озера Гудон» ) l

l l Аддитивная модель Y(t) = C(t) + S(t) + T(t) + E(t) Мультипликативная модель Y(t) = C(t) * S(t) * T(t) * E(t) Показатели Временного ряда l абсолютный цепной прирост , который показывает величину изменения показателя за k интервалов времени абсолютное ускорение , которое показывает величину изменения абсолютного цепного прироста за k интервалов времени средний абсолютный прирост: т. е. прирост в единицу времени коэффициент роста для t-го периода l коэффициент прироста l темпа прироста l средний уровень ряда: , где n длина ряда l l l

Цель статистического анализа временного ряда - построение модели временного ряда для кратко- и среднесрочного прогноза Для этого необходимо: l провести предварительный анализ данных; l определить, какие из неслучайных компонент T(t), S(t) или C(t) присутствуют в формировании временного ряда; l построить модели для тех неслучайных компонент, которые присутствуют в разложениях (1) или (2); l провести проверку адекватности моделей; l подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков E(t) и статистически оценить параметры этой модели. l провести расчет точечного и интервального прогнозов.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ выявление и устранение аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде. Аномальное наблюдение → искажение результатов моделирования Для выявления аномальных уровней временных рядов: - Метод Ирвина t = 2, 3, …, n. (сравнивнение с табличными значениями критерия Ирвина ) Количество наблюдений n P=0, 95 2 3 10 20 30 50 100 400 1000 P=0, 99 2, 8 2, 2 1, 5 1, 3 1, 2 1, 1 1, 0 0, 9 0, 8 3, 7 2, 9 2, 0 1, 8 1, 7 1, 6 1, 5 1. 3 1. 2 Если λ > → замена на среднее арифметическое

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЛИЧИЯ ТРЕНДА Методы: Критерий серий, основанный на медиане: 1. Вычисление медианы 2. Формирование последовательности из правилу: 3. Определение числа серий в совокупности (серия - последовательность подряд идущих плюсов или минусов) 4. Определение протяженности самой длинной серии Условия гипотезы о случайности (об отсутствии систематической составляющей, т. е. тренда) исходного ряда: Метод проверки разностей средних уровней (Сравнение средних значений двух частей временного ряда. Если эти средние совпадают или не очень сильно отличаются, то тенденция в исходном ряде отсутствует, в противном случае тенденции есть) 1. исходный временной ряд разбивается на две примерно равные части 2. для каждой из частей вычисляются средние значения и дисперсии 3. проверка равенства дисперсий обеих частей с помощью F-критерия Фишера 4. определение расчетного значения критерия Стьюдента по формуле: Если с заданным уровнем значимости α, то тренда нет, в противном случае тренд есть.

СГЛАЖИВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ (Замена фактических уровней ряда расчетными значениями, которые имеют меньшую колеблемость, чем исходные данные. Т. е. фильтрование) Для чего? l выявление тенденции l устранение аномальных наблюдений l непосредственный анализ и прогнозирование экономических показателей Аналитические методы (построение функции, график которой, проходит между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний) Механические методы l укрупнение временных интервалов (простейший метод) l простой скользящей средней; l взвешенной скользящей средней; l экспоненциального сглаживания.

Метод простой скользящей средней для временного ряда y 1, y 2, …yn определяется длина интервала сглаживания m ( mp 1. Метод взвешенной скользящей средней Cсуммирование членов ряда, входящих в интервал сглаживания, производится с определенными весами Сi, рассчитанными по методу наименьших квадратов для t>p, Но: первые и последние p наблюдений ряда остаются не сглаженными + проблема выбора ширины интервала m и степени полинома p

Метод экспоненциального сглаживания Получение сглаженных значений последних уровней Используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда на момент времени t: Но : проблема выбора сглаживающего параметра α и определения начального условия y 0 Автокорреляционная функция. Коррелограмма Если тенденция и циклические изменения → зависимость значений последующего уровня ряда от предыдущих - автокорреляция уровней ряда l Коэффициент автокорреляции - теснота связи между уровнями Yi-1 l Лаг - порядок уровня ряда автокорреляции l Автокорреляционная функция временного ряда (АКФ) – Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков l Коррелограмма - График зависимости значений АКФ от величины лага Применение: l Для определения структуры ряда (АКФ, Коррелограмма) l Определение наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической компоненты (коэффициент автокор. )

Аналитическое выравнивание временных рядов – метод обработки для устранения случайных колебаний, путем построения аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Т. е. описывает трендовую составляющую. Метод наименьших квадратов Способы выбора функции тренда: l визуальный l анализ показателей роста и прироста ( линейная функция; квадратичная функция, экспоненциальную или степенную функции ) АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИ ВРЕМЕННОГО РЯДА Y(t) = S(t) + T(t) + E(t) и Y(t) = S(t) * T(t) * E(t) Выбор на основе анализа структуры сезонных колебаний. l амплитуда колебаний приблизительно постоянна – аддитивная модель (значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов) l амплитуда сезонных колебаний изменяется - мультипликативная модель (ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты)

Процесс построения модели: Нахождение разности между средними значениями за каждый предполагаемый период и общим средним за весь период наблюдений. Процесс построения модели: 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней 2. Расчет значений сезонной компоненты S(t) 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных T(t)+E(t) в аддитивной или T(t)*E(t) в мультипликативной модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней T(t)+E(t) или T(t)*E(t) и расчет значений T(t) с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений T(t)+E(t) или T(t)*E(t). 6. Расчет значений ошибок. E(t)= Y(t) – [T(t)+S(t)] или E(t)= Y(t) / [T(t)+S(t)]. Нет автокорреляции - можно заменить исходные уровни ряда, использовать для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов. Общее среднее значение сезонной составляющей = 0

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПОСТРОЕННЫХ МОДЕЛЕЙ Хорошая модель = адекватная модель Проверка адекватности модели - исследование ряда остатков Расхождение между фактическим уровнем ряда и теоретическим, рассчитанным с помощью модели, в момент времени t. рассчитывается для каждого момента времени → образует ряд остатков -остаточная компонента Свойства: l Мат. ожидание уровней ряда остатков = 0; l независимость уровней ряда остатков, l случайность уровней ряда остатков; l соответствие нормальному закону;

Проверка свойств остаточной компоненты 1. Равенство мат. ожидания нулю ( ), если (t – статистика) 2. Проверка условия случайности критерий серий (рассматриваемый ранее в предварительном анализе данных) l критерий поворотных точек Значение случайной переменной – поворотная точка, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1, 5 наблюдения, если их больше – случайность, меньше – положительная корреляция. l Критерий случайности: где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду 3. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты Т. е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности d-критерий (Дарбина—Уотсона) 2 < d < 4 – отрицательная связь Значение d сравнивается с верхним DU и нижним DL критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. 4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОЧНОСТИ МОДЕЛИ Ошибка прогноза —расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя Характеристики точности из статистического анализа: 1. Чем меньше Сумма квадратов и Средний квадрат ошибки, тем точнее модель. Максимальная по абсолютной величине ошибка 3. Относительная максимальная ошибка 4. Средняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error- MAE) 5. Средняя абсолютная процентная ошибка Высокая точность: МАРЕ<10%, Хорошая: 10% 50%. Степень смещенности прогноза - Средняя процентная ошибка MPE ≤ 5% ME, MPE → 0 2.

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ И ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПРОГНОЗОВ l Закономерность развития, действовавшая внутри временного ряда, сохранится и в прогнозируемом будущем l Учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития. Точный прогноз на основе временных моделей - подстановка в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т. е. t=n+1, n+2, . . . , n+k. Доверительный интервал с надежностью γ - интервал, содержащий значение прогнозируемого показателя с вероятностью γ. Полуширина доверительного интервала: критическое значение распределения Стьюдента Границы доверительного интервала прогноза Y(n+k) : l – верхняя граница прогноза Y(n-k) + U(k) l – нижняя граница прогноза Y(n+k) – U(k) Точность прогноза уменьшается с ростом горизонта планирования Для процессов с пределом роста - кривая Джонсона, модифицированная экспонента. Для процессов с пределом роста и точкой перегиба - кинетическая кривая (кривая Перла - Рида) и кривая Гомперца.