Анализ вариации Кафедра Преподаватель Теории статистики

Анализ вариации • Кафедра: • Преподаватель: Теории статистики и прогнозирования Клочкова Елена Николаевна

Тема 6: Анализ вариации 6. 1. Основные показатели вариации Показатели вариации позволяют оценить: Ø колеблемость, разброс значений признака у единиц статистической совокупности; Ø устойчивость развития изучаемых процессов во времени; Ø взаимосвязи между изучаемыми признаками; Ø различного рода риски (страховой, систематический и т. п. ).

Тема 6: Анализ вариации 6. 1. Абсолютные показатели вариации Размах вариации x max где: - максимальное значение признака в совокупности; - минимальное значение признака в совокупности. Недостатки показателя: сильно зависит от максимальных, часто – аномальных значений; не учитывает «внутреннюю» вариацию между границами.

Тема 6: Анализ вариации 6. 1. Абсолютные показатели вариации Среднее линейное отклонение - невзвешенная формула - взвешенная формула При расчете среднего линейного отклонения осредняются модули индивидуальных отклонений, т. к.

Тема 6: Анализ вариации 6. 1. Абсолютные показатели вариации Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - невзвешенная формула - взвешенная формула Данные формулы могут быть приведены к выражению вида:

Тема 6: Анализ вариации 6. 1. Абсолютные показатели вариации Доказательство: Среднее квадратическое отклонение - корень квадратный из дисперсии:

Пример:

Расчетная таблица для определения показателей вариации Группы Число студентов по студентов возрасту x, лет fi А 1 2 3 4 5 6 17 10 170 3, 7 37 13, 69 136, 9 18 70 1260 2, 7 189 7, 29 510, 3 19 80 1520 1, 7 136 2, 89 231, 2 20 100 2000 0, 7 70 0, 49 49, 0 21 120 2520 0, 3 36 0, 09 10, 8 22 160 3520 1, 3 208 1, 69 270, 4 23 90 2070 2, 3 207 5, 29 476, 1 Итого: 630 13060 - 883 - 1684, 7

Тема 6: Анализ вариации 6. 2. Относительные показатели вариации Коэффициент осцилляции Линейный коэффициент вариации или

Тема 6: Анализ вариации 6. 2. Относительные показатели вариации Коэффициент вариации Примечания: Øпозволяют оценить однородность совокупности по одному или нескольким признакам: если V<33%, то совокупность можно считать однородной; Ø отдельных случаях может приводить к выводам, противоположным результатам, полученным на основе абсолютных показателей вариации.

Расчет относительных показателей

Тема 6: Анализ вариации 6. 3. Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

Тема 6: Анализ вариации 6. 3. Свойства дисперсии 3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонений – в k раз. Следовательно, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число, исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число:

Тема 6: Анализ вариации 6. 3. Свойства дисперсии 4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (х), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

Тема 6: Анализ вариации 6. 3. Свойства дисперсии Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину – на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т. е. на (х-А)2: или

Тема 6: Анализ вариации 6. 4. Расчет дисперсии по способу моментов или способу отсчета от условного нуля где: k – ширина интервала; А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой; - так называемый момент второго порядка.

Тема 6: Анализ вариации 6. 4. Расчет дисперсии по способу моментов Размер Середина Число месячной интервала сотрудзаработной ников платы, руб. fi А 1 2 3 4 5 4000 -6000 5000 10 -6000 9 90 6000 -8000 7000 6 -4000 4 24 8000 -10000 9000 19 -2000 1 19 10000 -12000 11000 26 0 0 0 12000 -14000 13000 19 2000 1 19 14000 -16000 15000 10 4000 4 40 16000 -18000 17000 5 6000 9 45 Итого: х 95 х х 237

Тема 6: Анализ вариации 6. 4. Расчет дисперсии по способу моментов или способу отсчета от условного нуля

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Правило сложения дисперсий где: - общая дисперсия признака по всей совокупности, без учета деления этой совокупности на группы; - средняя из внутригрупповых дисперсий; - межгрупповая дисперсия.

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Средняя из внутригрупповых дисперсий где: - дисперсия изучаемого признака в i-й группе; - объем (численность единиц) i-й группы; - число групп, на которые разделена совокупность. Данный показатель отражает ту часть общей дисперсии, которая обусловлена действием всех факторов, кроме фактора, положенного в основание группировки.

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Межгрупповая дисперсия где: - среднее значение признака по i-й группе; - объем(численность единиц) i-й группы; - число групп, на которые разделена совокупность; - среднее значение признака, по всей совокупности. Данный показатель отражает ту часть общей дисперсии, которая обусловлена действием учтенного фактора, положенного в основание группировки.

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Эмпирический коэффициент детерминации Показывает долю общей дисперсии изучаемого признака, обусловленную фактором, положенным в основание группировки.

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Эмпирическое корреляционное отношение Является количественной оценкой влияния факторного признака на вариацию признака результативного. Принимает значения от 0 до +1.

Пример. Известны следующие данные о рабочих одной из бригад: Тарифный Число рабочих разряд 3 4 5 2 4 5 Дневная выработка деталей одним рабочим, шт. 100, 120, 140, 160, 170, 180, 200 Определить: а) внутригрупповую дисперсию по выработке деталей одним рабочим, имеющим данный разряд; б)среднюю из внутригрупповых дисперсий по трем группам рабочих; в) общую дисперсию выработки рабочих этой группы; г) рассчитать эмпирические коэффициент детерминации и корреляционное отношение.

Решение: 1. Определим средние по каждой группе и общую среднюю:

Решение: 2. Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

Решение: 3. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий: 4. Определим межгрупповую дисперсию:

Решение: 5. Определим общую дисперсию обычным способом: 6. Проверим полученный результат, вычисли общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

Решение: 7. Рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации: 8. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Теорема сложения дисперсии доли признака где: - общая дисперсия доли признака по всей совокупности; - средняя из внутригрупповых дисперсий доли; - межгрупповая дисперсия доли.

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Внутригрупповая дисперсия доли Средняя из внутригрупповых дисперсий

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Межгрупповая дисперсия доли где: - объем (численность единиц) i-й группы; - доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:

Тема 6: Анализ вариации 6. 5. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей Общая дисперсия доли

Пример. Известны следующие данные о численности студентов всех форм обучения и удельный вес выпускников очной формы обучения, получивших дипломы с отличием по вузам города: Вуз Численность студентов всех форм обучения, чел. Удельный вес выпускников очной формы обучения, получивших диплом с отличием, % 1 1500 13 2 3250 35 3 2140 25 4 1050 12 Итого: 8040 … Определить: а) групповые дисперсии; б)среднюю из внутригрупповых дисперсий доли; в) межгрупповую дисперсию доли; г) общую дисперсию доли.

Решение: 1. Определим долю выпускников очной формы в целом по четырем вузам: 2. Определим общую дисперсию доли студентов всех форм обучения:

Решение: 3. Рассчитаем внутригрупповые дисперсии: 4. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Решение: 4. Определим межгрупповую дисперсию доли: 5. Проверим правильность вычислений с помощью правила сложения дисперсий :

Решение: 6. Рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации: 7. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака Обозначения признака: 1 - наличие альтернативного признака; 0 - отсутствие альтернативного признака; р - доля единиц, обладающих данным признаком; q - доля единиц, не обладающих данным признаком.

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака где: N – объем совокупности, m – количество единиц наблюдения, обладающих изучаемым признаком. Тогда: р+q=1

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака Среднее значение альтернативного признака

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака Дисперсия альтернативного признака

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

Тема 6: Анализ вариации 6. 6. Изучение среднего уровня и вариации альтернативного признака Пример: При выборочном опросе 300 жителей Москвы 80 из них высказались положительно по поводу хранения личных денежных сбережений в коммерческих банках города. Определить средний уровень, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Решение: