Анализ размерностей теория размерностей позволяет уменьшать число факторов

Анализ размерностей (теория размерностей) позволяет уменьшать число факторов в задаче без потери информации об объекте исследования. В основу анализа размерностей положены два постулата: vлюбое явление или процесс, подчиняющиеся действию физических законов, должны иметь математическое описание, инвариантное к системе единиц, в которой выражены переменные и параметры; vв математическом описании при количественной оценке каждой физической величины используется операция измерения, т. е. сравнение с эталоном или мерой.

Все физические величины можно разделить на первичные (x) и вторичные ( y) в зависимости от того, как осуществляется их измерение. Первичная величина измеряется непосредственно, при этом численное значение величины зависит от выбранного эталона x 0 : (1) Численные значения физических величин нельзя считать абсолютным признаком объекта, они условны и полностью определяются принятым эталоном.

Если при эталоне величины численное значение первичной ; а при эталоне - , то выполняется соотношение: (2) где Есть абсолютный признак, который не зависит от выбранного эталона – это отношение численных значений: (3) Это свойство называется абсолютностью отношений. Оно отражает первый постулат и для первичных величин выполняется автоматически.

Вторичные величины выражаются через первичные с помощью определительного уравнения: (4) Их численные значения зависят как от эталонов, так и от вида определительного уравнения. Если для эталона и справедливо уравнение (2), то (5) Уравнение (5) справедливо только при следующем виде определительного уравнения: (6)

Тогда ; и с учетом (2) получим формулу размерности (7) ai - показатели размерности. Но вторичная величина может зависеть не только от первичных, но одновременно и от вторичных величин. (8) Пусть Тогда (9) Общая формула размерности : (10)

Любую зависимость y = f(x), описывающую физическое явление или процесс, можно рассматривать как определительное уравнение вида (9) и получить для него формулу размерности, выбрав некоторые из величин в качестве первичных. В механике в качестве основных первичных величин, через которые выражаются практически все остальные, удобно выбрать три независимые величины: массу M, длину L и время T. При этом, например, размерность линейной скорости размерность ускорения размерность объема В задачах теплотехники к трем базовым добавляют температуру: M, L, T, θ; в задачах электротехники – ток: M, L, T, I.

Формулы размерности (10) служат основой для перехода от первоначальных размерных факторов x 1, … xm , y 1, … yn к новым факторам в виде безразмерных комплексов , число которых меньше числа исходных факторов. Этот переход выполняется в соответствие с теоремой Бэкингема ( - теоремой), состоящей из двух частей. 1. Если формула размерности однородна, то она может быть представлена в безразмерном виде. 2. Число безразмерных комплексов равно числу переменных, параметров и констант, существенных для изучаемого процесса или явления за вычетом числа независимых первичных величин, через которые выражены эти переменные параметры и константы.

Условием однородности уравнения (10) является отличие всех показателей степени ai, bj от нуля. Невыполнение этого условия показывает, что исходная запись (8) некорректна с точки зрения соблюдения физических законов. В ней либо пропущены существенные для задачи параметры и константы, либо, наоборот, присутствуют величины, не влияющие на изучаемые процессы и явления, т. е. не существенные для данной задачи. Анализ размерностей не показывает, что именно неверно в записи, однако заставляет исследователя изменить постановку задачи. Однородность уравнения (10) не гарантирует правильность постановки задачи, но показывает, что противоречия с законами физики в определительном уравнении не содержится.

Существует стандартный алгоритм решения задач на анализ размерности, состоящий из ряда формализованных процедур – метод Релея : 1. Предполагаем, что имеем определительное уравнение вида: 2. Выбираем первичные переменные (например, L, M, T). 3. Все переменные, входящие в условие задачи выражаем через первичные. 4. На основании определительного уравнения составляем формулу размерности и проверяем её на однородность. (Достаточное условие однородности: каждая из размерностей должна встречается в уравнении не менее двух раз).

5. Составляем систему алгебраических уравнений относительно показателей степени в формуле размерности. 6. Определяем число безразмерных комплексов. 7. Решаем систему алгебраических уравнений относительно показателей степени, выражая некоторые выбранные из них через остальные. 8. Найденные показатели подставляем в определительное уравнение и путем объединения членов уравнения, имеющих одинаковые показатели степени, составляем безразмерные комплексы.

Проверка правильности решения. Для проверки правильности решения необходимо проверить выполнение следующих условий: 1. Число полученных комплексов соответствует второй части теоремы. 2. В комплексы входят все исходные переменные задачи. 3. Все комплексы безразмерны.

Пример 1. Определить период колебаний (t) математического маятника l m

M, L, T Так как уравнение неоднородно (все размерности встречаются только по одному разу), уточняем постановку задачи. M, L, T Так как уравнение неоднородно (М встречается только один раз), уточняем постановку задачи.

M, L, T Уравнение однородно

r = n – m = 1, (n – число существенных для задачи переменных, n=3; m – число первичных величин, m=2).

Пример 2. Исследование движения тела в жидкой среде. Определить влияние четырех факторов: скорости V, размера тела D, плотности ρ и вязкости μ среды на силу лобового сопротивления F. ρ, μ D F V

M, L, T Уравнение однородно

r = 2; (n = 5, m = 3) Полагая d известным, выразим через него другие показатели степени:

- коэффициент лобового сопротивления - число Рейнольдса

Пример 3. Найти период колебаний тока в контуре, образующемся при подключении заряженного конденсатора емкостью С к катушке индуктивности l. M, L, T, I. Уравнение однородно

r = 3 – 2 = 1, (n=3, m=2, т. к. три уравнения системы одинаковы)