Анализ Фурье Выравнивание при помощи ряда Фурье

Анализ Фурье Выравнивание при помощи ряда Фурье.

Фурье Жан Батист Жозеф (1768 -1830) Французский математик и физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1829), член Парижской академии наук (1817). Труды по алгебре, дифференциальным уравнениям и особенно по математической физике. Его «Аналитическая теория тепла» (1822) явилась отправным пунктом в создании теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Ряды Фурье Ряд Фурье начинается с разложения сложной формы на простые — например, изменение земной поверхности объясняется землетрясением, изменения орбиты кометы — влиянием притяжения нескольких планет, изменение потока тепла — его прохождением сквозь препятствие неправильной формы из теплоизолирующего материала.

Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом.

ДОБАВЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ РЯДА ФУРЬЕ Ряд Фурье — это метод представления функции суммой гармоник — синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ»

Анализ Фурье заключается в разложении периодических функций в сходящийся гармонический ряд

СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ

Практическое проведение гармонического анализа связано с вычислением коэффициентов Фурье. Параметры уравнения определяются на основе метода наименьших квадратов и вычисляется по формулам:

Запишем ряд Фурье в комплексной форме в виде экспоненциальной функции, используя формулу Эйлера

И получим…

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Самостоятельные исследования Цель: анализ временных рядов и прогнозирование данных о посещаемости сайта; Инструменты: данные о динамике посещаемости сайта «ru. wikipedia. org» по запросу «Функция Лапласа» (Функция ошибок).

Статистика посещаемости сайта

1 шаг Внести необходимые данные в таблицу Excel

2 шаг Построить график уравнения тренда. Для этого: 1. построить график по исходным данным; 2. в режиме «работа с диаграммами» на вкладке «макет» выбрать «линия тренда» , затем «дополнительные параметры линии тренда» ; 3. в окне «формат линии тренда» добиться полного соответствия с Рис. 1

Получим…

3 шаг: регрессия Для более детального анализа построения модели необходимо использовать режим «Регрессии» .

4 шаг: анализ Фурье Гармонический анализ вычисленных отклонений проведем с помощью «Анализа Фурье» в Excel.

5 шаг Вычисляем коэффициенты Фурье:

6 шаг

7 шаг: гармоники

8 шаг: гармонический ряд Получить ряд Фурье, используя формулу:

Получим… Теоритические данные Эмпирические данные

Убедимся в этом на графике связи: Эмпирические данные Теоритические данные

9 шаг Эмпирический график отклонения посещаемости от основной тенденции и теоретические графики первых 4 гармоник

10 шаг: прогнозирование Прогноз: Эмпирические данные

Спасибо за внимание!