Анализ алгоритмов
• Определение 1. 1: Алгоритм - это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных.
• Определение 1. 2 (Колмогоров): Алгоритм – это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи. • Определение 1. 3 (Марков): Алгоритм – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.
Сравнительные оценки алгоритмов • При использовании алгоритмов для решения практических задач мы сталкиваемся с проблемой рационального выбора алгоритма решения задачи. Решение проблемы выбора связано с построением системы сравнительных оценок, которая в свою очередь существенно опирается на формальную модель алгоритма. • Массовость алгоритма
• Для оценки алгоритмов существует много критериев. Чаще всего нас будет интересовать порядок роста необходимых для решения задачи времени и емкости памяти при увеличении входных данных. • Нам хотелось бы связать с каждой конкретной задачей некоторое число, называемое ее размером, которое выражало бы меру количества входных данных. • Например, размером задачи умножения матриц может быть наибольший размер матрицсомножителей. Размером задачи о графах может быть число ребер данного графа.
Трудоёмкость алгоритма • Под трудоёмкостью алгоритма для данного конкретного входа – Fa(N), будем понимать количество «элементарных» операций совершаемых алгоритмом для решения конкретной проблемы в данной формальной системе.
• Алгоритм не должен быть привязан к конкретной реализации. В силу разнообразия используемых средств программирования, их требований к аппаратным ресурсам и платформенной зависимости сходные по структуре, но различные в реализации, алгоритмы могут выдавать отличающиеся по эффективности результаты.
• При более детальном анализе трудоемкости алгоритма оказывается, что не всегда количество элементарных операций, выполняемых алгоритмом на одном входе длины N, совпадает с количеством операций на другом входе такой же длины. • Под худшим случаем трудоемкости понимают наибольшее количество операций, задаваемых алгоритмом на всех входах определенной размерности n. • Определим лучший случай трудоемкости, как наименьшее количество операций в аналогичном алгоритме и при той же размерности входа. • Средний случай трудоемкости определяется средним количеством операций рассматриваемого алгоритма и входных данных.
Асимптотический анализ функций • При анализе поведения функции трудоемкости алгоритма часто используют принятые в математике асимптотические обозначения, позволяющие показать скорость роста функции, маскируя при этом конкретные коэффициенты. • Такая оценка функции трудоемкости алгоритма называется сложностью алгоритма и позволяет определить предпочтения в использовании того или иного алгоритма для больших значений размерности исходных данных. • В асимптотическом анализе приняты следующие обозначения:
Оценка (тетта) • Пусть f(n) и g(n) – положительные функции положительного аргумента, • n ≥ 1 (количество объектов на входе и количество операций – положительные числа), тогда: • f(n) = (g(n)), если существуют положительные с1, с2, n 0, такие, что: • с1 * g(n) f(n) c 2 * g(n), при n > n 0
• Обычно говорят, что при этом функция g(n) является асимптотически точной оценкой функции f(n), т. к. по определению функция f(n) не отличается от функции g(n) с точностью до постоянного множителя.
Примеры: • 1) f(n)=4 n 2+n ln(n)+174 – f(n)= (n 2); • 2) f(n)= (1) – запись означает, что f(n) или равна константе, не равной нулю, или f(n) ограничена константой / на : f(n) = 7+1/n = (1).
Оценка О (О большое) • В отличие от оценки , оценка О требует только, что бы функция f(n) не превышала g(n) начиная с n > n 0, с точностью до постоянного множителя:
• Вообще, запись O(g(n)) обозначает класс функций, таких, что все они растут не быстрее, чем функция g(n) с точностью до постоянного множителя, поэтому иногда говорят, что g(n) мажорирует функцию f(n). • Например, для функции: • f(n)=6*n 2 +24*n+77 • будет справедлива оценка О(n 2 )
Оценка (Омега) • В отличие от оценки О, оценка является оценкой снизу – т. е. определяет класс функций, которые растут не медленнее, чем g(n) с точностью до постоянного множителя:
• Например, запись (n*Ln(n)) обозначает класс функций, которые растут не медленнее, чем g(n) = n*Ln(n), в этот класс попадают все полиномы со степенью большей единицы, равно как и все степенные функции с основанием большим единицы. • Асимптотическое обозначение О восходит к учебнику Бахмана по теории простых чисел (Bachman, 1892), обозначения , введены Д. Кнутом- (Donald Knuth).
Элементарные операции • Для получения функции трудоемкости алгоритма, представленного в формальной системе абстрактной машины необходимо уточнить понятия «элементарных» операций, соотнесенных с языком высокого уровня. • В качестве таких «элементарных» операций предлагается использовать следующие: • 1) Простое присваивание: а b; • 2) Одномерная индексация a[i] : (адрес (a)+i*длина элемента); • 3) Арифметические операции: (*, /, -, +); • 4) Операции сравнения: a < b; • 5) Логические операции {or, and, not} ;
• Конструкция «Следование» • Трудоемкость конструкции есть сумма трудоемкостей блоков, следующих друг за другом. • F «следование» = f 1 + … + fk, • где k – количество блоков.
• Трудоемкость конструкции "Ветвление" определяется через вероятность перехода к каждой из инструкций, определяемой условием. При этом проверка условия также имеет определенную трудоемкость. Для вычисления трудоемкости худшего случая может быть выбран тот блок ветвления, который имеет большую трудоемкость, для лучшего случая – блок с меньшей трудоемкостью. • f if = f 1+fthenx pthen+felse x (1 -pthen)
• Трудоемкость конструкции "Цикл" зависит от вида цикла. Для цикла с параметрами будет справедливой формула: F «цикл» = 1+3*N+N*f «тела цикла» • где n – количество повторений тела цикла, f – трудоемкость тела цикла. • Реализация цикла с предусловием и с постусловием не меняет методики оценки его трудоемкости. На каждом проходе выполняется оценка трудоемкости условия, изменения параметров (при наличии) и тела цикла. Общие рекомендации для оценки циклов с условиями затруднительны. Так как в значительной степени зависят от исходных данных.
Пример 1 Задача суммирования элементов квадратной матрицы • • Sum. M (A, n; Sum) Sum 0 For i 1 to n For j 1 to n Sum + A[i, j] end for Return (Sum) End • FA(n)=1+1+ n *(3+4))=7 n 2+4* n +2 = (n 2), заметим, что под n понимается линейная размерность матрицы, в то время как на вход алгоритма подается n 2 значений.
• Пример 2 Задача поиска максимума в массиве • Max. S (S, n; Max) • Max S[1] • For i 2 to n • if Max < S[i] • then Max S[i] • end for • return Max • End
• • • Пример 2 Задача поиска максимума в массиве Max. S (S, n; Max) Max S[1] For i 2 to n if Max < S[i] then Max S[i] end for return Max End Лучший, худший, средний случаи Пример алгоритм сортировки вставками
• Особенностью оценки ресурсной эффективности рекурсивных алгоритмов является необходимость учета дополнительных затрат памяти и механизма организации рекурсии. • Поэтому трудоемкость рекурсивных реализаций алгоритмов связана с количеством операций, выполняемых при одном рекурсивном вызове, а также с количеством таких вызовов. Учитываются также затраты на возвращения значений и передачу управления в точку вызова. • Для анализа трудоемкости механизма рекурсивного вызовавозврата будем учитывать следующие параметры: • p – количество передаваемых фактических параметров, • r – количество сохраняемых в стеке регистров, • k – количество возвращаемых по адресной ссылке значений, • l – количество локальных ячеек функции. • Тогда функция трудоемкости на один вызов-возврат примет вид: f=2(p+k+r+l+1), • где дополнительная единица учитывает операции с адресом возврата.
• Под объемом памяти, требуемым алгоритмом для входа D, понимаем максимальное количество ячеек памяти, задействованных в ходе выполнения алгоритма. Емкостная сложность алгоритма определяется как асимптотическая оценка функции объема памяти алгоритма для худшего случая. • Таким образом, ресурсная сложность алгоритма в худшем, среднем и лучшем случаях определяется как упорядоченная пара классов функций временной и емкостной сложности, заданных асимптотическими обозначениями и соответствующих рассматриваемому случаю.