Аналитические вычисления в Matlab Как можно вычислять

Аналитические вычисления в Matlab

Как можно вычислять? • Пример: вычисление определённого интеграла 1. По формуле Ньютона: F(b) – F(a), где F(x) – первообразная – получаем точный результат – но первообразную не всегда можно найти 2. Численно: методом прямоугольников, трапеций, Симпсона и пр. – можно пользоваться даже тогда, когда интеграл «не берётся» – но при вычислении возникают погрешности 2

Средства Matlab • • Изначально Matlab имел средства только для численного анализа Сегодня в Matlab встроены средства аналитических (символьных) вычислений – Symbolic Math Toolbox – Является вычислительным ядром системы Maple V – Установка Maple не требуется 3

Создание символьных переменных • • Для символьного анализа требуется создать символьные переменные и функции Символьные переменные создаются – по одной: x=sym(’x’) • – так же можно создать целое символьное выражение несколько сразу: syms x y z • Символьные функции определяются через символьные переменные: f=x^2+y • Для построения символьных функций можно воспользоваться командой ezplot Представить в стандартной форме – командой pretty • 4

Пример 5

Представление символьных переменных 6

Символьные вычисления • Преобразования анализа – дифференцирование, пределы, интегрирование, разложение в ряд Тейлора • • Упрощение и подстановки Точная арифметика Линейная алгебра Решение уравнений и их систем – обычных и дифференциальных 7

Дифференцирование 8

Частные производные 9

Частные производные 10

Пределы 11

Односторонние пределы • Рассмотрим функцию f(x)=x/|x| 12

Односторонние пределы 13

Пределы (сводная таблица) 14

Интегралы 15

Интегралы с параметрами 16

Интегралы с параметрами ~ -- это признак действительного числа 17

Суммирование 18

Разложение в ряд Тейлора Попробуйте также команду taylortool 19

Разложение в ряд Тейлора 20

Пример: исследование функции 21

Найдём горизонтальную асимптоту 22

Найдём вертикальные асимптоты 23

Код для построения асимптот 24

Изображение асимптот 25

Экстремумы функции 26

Построение экстремумов 27

Операции над полиномами • Реализуются при помощи функций – – collect expand factor horner 28

Операции над полиномами • collect – вычисляет коэффициенты при степенях независимой переменной – по умолчанию – x • Можно явно задать имя независимой переменной в виде: – collect (f, Var. Name) 29

Операции над полиномами • expand – представляет полином суммой степеней без приведения подобных 30

Операции над полиномами • factor – разлагает полином на множители, если эти множители имеют рациональные коэффициенты: 31

Операции над полиномами • Также factor производит каноническое разложение числа: 32

Операции над полиномами • horner – представляет полином в схеме Горнера: 33

Упрощение выражений • simplify – реализует мощный алгоритм упрощения с использованием тригонометрических, степенных, логарифмических, экспоненциальных функций, а также спецфункций (Бесселя, гипергеометрической, интеграла ошибок и пр. ) • simple – пытается получить выражение, которое представляется меньшим числом символов, чем исходное, последовательно применяя все функции упрощения Symbolic Math Toolbox 34

Simplify 35

Simple 36

Simplify против Simple • Иногда simple даёт более удачное решение, чем simplify: 37

Simple • simple особенно эффективна при работе с тригонометрическими выражениями 38

Подстановка • subs подставляет одно символьное выражение в другое • Общий формат: – subs(<куда>, <вместо чего>, <что>) 39

Пример подстановки 40

Подстановка значения в функцию • Подстановка вместо переменной её числового значения приводит к вычислению символьной функции от значения аргумента 41

Точная арифметика • Точные вычисления реализуются функцией vpa (Variable-Precision Arithmetic) • Формат вызова: – vpa(<выражение>, <значащих цифр>) 42

Точная арифметика 43

Решение уравнений и систем • • Выполняет команда solve До 4 -го порядка включительно решаются точно Ответ выводится в степенях рациональных чисел Уравнения высших порядков и трансцендентные, как правило, точно не решаются – В этом случае выводится приближённый результат • С целью сокращения записи при выводе могут использоваться подстановки 44

Решение уравнений и систем I – это мнимая единица 45

Решение систем • Также выполняет команда solve • Входные аргументы – левые части уравнений – переменные, по которым нужно разрешить систему – например: s = solve(f 1, f 2, x 1, x 2) • Выходной аргумент – структура (запись) s с полями (в данном случае) x 1 и x 2, хранящими символьное представление решения 46

Пример решения системы 47

Решение дифференциальных уравнений • Выполняет команда dsolve 48