Аналитическая геометрия Векторы 1 При изучении физических

Аналитическая геометрия Векторы 1

При изучении физических явлений мы встречаемся с величинами двух видов: скалярными и векторными. Скалярная величина – это величина, которая при определенном выборе единицы меры вполне характеризуется числом ее измеряющим. В качестве примера векторной величины рассмотрим скорость. Чтобы вполне охарактеризовать скорость недостаточно знать число, измеряющее величину скорости, необходимо так же указать ее направление. Мы можем задать скорость, строя вектор - отрезок, имеющий в данном масштабе длину, равную величине скорости, и направление, совпадающее с направлением скорости. Таким образом, вектор вполне определяется своей длиной и направлением. 2

Определения l l l Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О любом отрезке из этого множества говорят, что он представляет собой вектор , и получен приложением вектора к точке А. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (обозначается ). a B A 3

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают ( – нулевой вектор, т. е. вектор, длина которого равна нулю). Вектор длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается , Если , то 4

Коллинеарные и компланарные векторы Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (сонаправленными, если их направления совпадают; противоположно направленными, если их направления противоположны). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. l Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. l 5

Определение. Два (ненулевых) вектора называются Определение. равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины. 6

Действия с векторами. l Пусть даны два вектора и , которые приложены к одной точке. Суммой этих векторов называется вектор, идущий по диагонали параллелограмма из их общего начала(правило параллелограмма). B A C D 7

Правило треугольника. l Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, при условии, что второй вектор приложен к концу первого. А В О 8

Правило многоугольника. Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых. Чтобы построить сумму векторов нужно к концу вектора приложить вектор , затем, к концу . вектора приложить вектор и т. д. , пока не дойдем до вектора . Тогда суммой векторов будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего вектора 9

Разность векторов. Если векторы и приложены к одной точке, то разность этих векторов это вектор, соединяющий конец второго вектора с концом первого. l B A D 10

Произведение вектора на число. Произведением вектора на число λ называется вектор , такой что: (противоположно направлены), если λ < 0; (сонаправлены), если λ > 0; , если λ = 0. 11

Свойства линейных операций. 1) (коммутативность сложения); 2) (ассоциативность сложения); 3) ( - нулевой элемент); 4) (противоположный элемент); 5) (ассоциативность умножения); 6) (дистрибутивность умножения); 7) 8) 12

Линейная зависимость и независимость векторов. Определение. Система векторов линейного пространства V называется линейно зависимой, если существуют числа 1, α 2 , …, n , не равные одновременно нулю такие что линейная комбинация этих векторов равна нулю: Определение. Система векторов линейного пространства V называется линейно независимой, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае одновременного равенства нулю всех коэффициентов 1, α 2 , …, n. 13

Примеры. 1) Рассмотрим множество C[a, b] всех функций, непрерывных на отрезке [a, b]. Пусть Тогда Система функций {sin 2 t, cos 2 t, 1} линейно зависима. 2) Рассмотрим множество Pn многочленов, степени не выше n. Пусть Рассмотрим линейную комбинацию Данная линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда α = β = γ = 0. Следовательно, система функций {1, t, t 2} линейно не зависима. 14

Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов. 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда это нулевой вектор. Доказательство. Пусть − Л. З. Тогда . Так как α 0, то Пусть − Л. Н. З. Тогда а значит, вектор 15

2. Система, состоящая из двух ненулевых векторов, во множестве всех геометрических векторов в пространстве, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти вектора коллинеарные. Доказательство. 1)Пусть система векторов − Л. З. Тогда существуют такие числа α, β (α 2 + β 2 0), такие что Предположим, что β 0, тогда 2) Пусть . Тогда , а значит, система векторов − Л. З. ◄ 16

3. Система, состоящая из трех ненулевых векторов, во множестве всех геометрических векторов в пространстве, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти вектора компланарны. Доказательство. Пусть система векторов − Л. З. Тогда существуют такие числа α, β, γ (α 2 + β 2 + γ 2 0), такие что Предположим, что α 0, тогда Следовательно, векторы компланарны. 17

Пусть векторы − компланарны. − Если , то из условия коллинеарности векторов следует, что . А значит, векторы Л. З. − Пусть векторы и не коллинеарные, а точки A и B − начало и конец вектора . Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам и . Пусть точка С – точка пересечения этих прямых. Тогда имеем, Так как и то и а значит, векторы Л. З. 18

4. Система, состоящая из четырех векторов, в множестве всех геометрических векторов в пространстве, всегда линейно зависима. Доказательство. Пусть даны векторы 1)Пусть векторы − компланарные. Тогда они Л. З. То есть существуют такие числа α, β, γ (α 2 + β 2 + γ 2 0), такие что 2)Пусть векторы − не компланарные. Приложим данные векторы к точке О. Из конца вектора проведем прямую параллельно вектору до пересечения с плоскостью, в которой лежат векторы и . 19

векторы ◄ 5. Система, состоящая из трех векторов, в множестве всех геометрических векторов на плоскости, всегда линейно зависима. 20

Проекция вектора на вектор. Пусть в пространстве даны два вектора и . Опустим из конца и начала вектора перпендикуляры на вектор . Обозначим основания этих перпендикуляров буквами A и B. Проекцией вектора на вектор определяемое по формуле: называется число, 21

Замечание. Если вектор образует острый угол с вектором , то проекция вектора на вектор положительна, если же этот угол тупой, то проекция отрицательна, если векторы перпендикулярны, то проекция равна нулю. Свойства проекций. 1. Равные векторы имеют равные проекции. 2. Проекция суммы нескольких векторов на один и тот же вектор равна сумме их проекций Доказательство: 22

Найдем сумму векторов по правилу многоугольника: Из начала и конца каждого вектора опустим перпендикуляры на вектор . Пусть точки O, A 1, A 2, …, An − основания этих перпендикуляров. Тогда 23

Таким образом, 3. При умножении вектора на число его проекция на данную ось умножается на это число Доказательство: 1) При α = 0 2) При α > 0 Тогда 24

3) При α < 0 Тогда Ортогональная проекция вектора на ось. Ортогональной проекцией вектора на ось называется вектор , такой что: 25

Ортогональная проекция вектора на плоскость Ортогональной проекцией вектора на плоскость P называется вектор , такой что: 26

Определения. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Действительно, любой вектор на плоскости может быть представлен в виде , где − любые два неколлинеарных вектора. Базисом в пространстве геометрических векторов называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Базис называется прямоугольным, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. 27

Декартова прямоугольная система координат. Зафиксируем в пространстве точку О и приложим к ней три взаимно перпендикулярных вектора единичной длины. По направлению этих векторов направим оси OX, OY и OZ, которые называются координатными осями. Первая – ось абсцисс, вторая – ось ординат, третья – ось аппликат. Векторы прямоугольного базиса принято обозначать Определение. Совокупность точки О (начала координат) и прямоугольного базиса называется декартовой прямоугольной системой координат (Д. П. С. К. ). 28

Пусть в пространстве задана Д. П. С. К. , точка М – произвольная точка пространства. Координаты точки M в системе (О, В) называются координатами ее радиус-вектора , как геометрического вектора в базисе Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные координатным осям. Любой вектор пространства можно единственным образом разложить по базису 29

Пусть х , y, z– проекции вектора на оси ОХ, OY, OZ. Тогда имеем разложение вектора по базису где (x, y, z) – координаты вектора Длина вектора 30

– угол между вектором и осью OХ; – угол между вектором и осью OY; – угол между вектором и осью OZ. Тогда величины cos , cos называются направляющими косинусами вектора и могут быть вычислены по формулам: Очевидно, что Действительно, Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами его орта. 31

Действия над векторами, заданными в Д. П. С. К. Пусть Тогда 1) Таким образом, при умножении вектора на число все его проекции умножаются на это число. Таким образом, при сложении векторов соответствующие проекции складываются, при вычитании векторов соответствующие проекции вычитаются. 32

3) Пусть задан вектор , начало которого А имеет координаты , а конец В имеет координаты Вектор где Тогда 33

Условие коллинеарности двух векторов. Два вектора и коллинеарны, если существует такое действительное число α, что Если Отсюда следуют равенства: Два вектора совпадают, если равны их соответствующие координаты, т. е. 34

Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки Точка С Пусть даны две точки лежит на отрезке AB таким образом, что Требуется найти координаты точки С. Очевидно, что Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат: 35

Замечание. Если точка С является серединой отрезка АВ, то ее координаты вычисляются по формулам 36

Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Заметив, что выражение равно проекции вектора на вектор , а выражение равно проекции вектора на вектор , получим следующую формулу для вычисления скалярного произведения т. е. скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора умноженному на проекцию другого по направлению первого. 37

Рассмотрим физическую задачу, при решении которой используется скалярное произведение векторов. Пусть материальная точка М движется по прямой от точки А до точки В. Путь, проходимый при этом равен S. Допустим, что на точку М действует постоянная по величине и направлению сила под углом φ к направлению перемещения. Тогда работа Таким образом, работа постоянной силы на прямолинейном участке равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. 38

Свойства скалярного произведения: (условие перпендикулярности векторов). Доказательство: Пусть Тогда Так как то 39

Доказательство: 40

Доказательство: 6)Если угол между векторами и острый, то если тупой, то Следует из того, что знак скалярного произведения определяется знаком 41

Скалярное произведение в Д. П. С. К. Пусть даны два вектора Тогда Заметим теперь, что Так как векторы − взаимно перпендикулярные орты, то Следовательно, скалярное произведение в Д. П. С. К. : 42

Пример: 43

Косинус угла между двумя векторами. Из формулы выразим Если Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, если их скалярное произведение равно нулю. т. е. x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0. 44

Матрица второго порядка. Квадратная таблица, состоящая из четырех чисел называется матрицей второго порядка. l l Числа аij (i, j =1, 2) − её элементы, где i-номер строки, j= номер столбца. Пара чисел а 11 , а 22 образует главную диагональ, а пара чисел а 12 , а 21 образует побочную диагональ матрицы А. 45

Определители второго порядка Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице А, называется число равное разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали: Пример 46

Матрица третьего порядка. Матрицей третьего порядка называется квадратная таблица, состоящая из 9 -ти элементов: · Ее элементы аij (i, j =1, 2, 3), где i – номер строки, j – номер столбца. Числа а 11, а 22, а 33 образуют главную диагональ, числа а 13, а 22, а 31 − образуют побочную диагональ. 47

Определитель третьего порядка. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число 48

Поясним схематически нахождение определителя. Берем произведение элементов, стоящих на главной диагонали. К нему прибавляем произведение элементов, лежащих на параллели выше главной диагонали и элемента из противоположного угла. Затем прибавляем произведение элементов, лежащих на параллели ниже главной диагонали и элемента из противоположного угла. А затем вычитаем три слагаемых, которые строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали: 49

Также определитель третьего порядка можно вычислить с помощью разложения по элементам какой-нибудь строки или столбца. Например, по первой строке: 50

Пример. Найти определитель матрицы 1 способ: 2 способ: 51

Свойства определителей. 1) Величина определителя не изменится если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами: Легко доказывается непосредственным вычислением. 2) При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменит свой знак на противоположный. 3)Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя. 52

4)Если определитель имеет две равные строки (или два равных столбца), то он равен нулю. 5)Если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю. 6)Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю. 7)Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. 53

8)Если элементы некоторой строки (или столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей: первый из них имеет в указанной сроке (столбце) первые слагаемые, второй- вторые. 54

Минор и алгебраическое дополнение элемента. l l Минором Mij определителя третьего порядка, соответствующим некоторому элементу aij определителя, называется определитель второго порядка, который получится, если вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется минор Mij этого элемента, взятый со своим знаком, если i+ j- чётное число, и с противоположным знаком, если i+ j- нечетное. 55

Теорема о разложении. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства: - разложение по i-той строке: - разложение по j-тому столбцу: 56

Тройки векторов. l l Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора переход от первого ко второму виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов –левая. Если векторы компланарны, то такая тройка не относится ни к правым тройкам , ни к левым. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из центра телесного угла, образованного этими векторами, переход от первого вектора ко второму и от второго вектора к третьему виден происходящим против часовой стрелки. 57

Замечания. 1. Перестановка двух соседних векторов меняет ориентацию тройки на противоположную. 2. Любая циклическая перестановка не меняет ориентацию тройки. Если тройка векторов − правая, то и тройки также правые. 3)Замена одного вектора в тройке векторов противоположным вектором меняет ориентацию тройки. 58

Векторное произведение векторов. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый , такой что: 1) 2) 3) − правая тройка. l Если хотя бы один из векторов равен , то векторное произведение по определению равно . l 59

Свойства векторного произведения. Доказательство: ‒ Если векторы коллинеарные, то и ‒ Пусть векторы не коллинеарные. Тогда из определения векторного произведения следует: b) векторы образуют правую тройку, векторы образуют правую тройку − левая тройка 60

Доказательство: ‒ Если векторы коллинеарны, то и векторы коллинеарны, а значит, ‒ Если λ = 0 , то и ‒ Пусть векторы не коллинеарны и λ 0. Тогда по определению векторного произведения 61

Следовательно, c) Векторы образуют правую тройку, векторы образуют правую тройку. Если λ > 0, то и , а значит, векторы образуют правую тройку и векторы образуют правую тройку. Следовательно, 62

Если λ < 0, то и , а значит, векторы образуют левую тройку и векторы образуют левую тройку. Следовательно, Таким образом, имеем и Следовательно, Данное свойство докажем позже. 63

(условие коллинеарности векторов). Доказательство: Пусть Тогда или Пусть Тогда 64

5)Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна длине вектора векторного произведения векторов и Доказательство: 65

Векторное произведение в Д. П. С. К. Пусть даны два вектора Тогда Доказательство: Предварительно найдем все парные произведения ортов Так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, то 66

Рассмотрим, например, произведение Вектор перпендикулярен векторам и , т. е. направлен вдоль оси OZ. Так как тройка векторов должна быть правой, то он направлен в сторону положительного направления оси OZ. Отсюда следует, что этот вектор совпадает с вектором , то есть Аналогично, можно получить, что и, следовательно, 67

Значит, 68

Пример Дано: Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах Решение Площадь треугольника, построенного на векторах равна половине длины вектора их векторного произведения. 69

Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению векторного произведения векторов и на вектор Принято обозначать: 70

Смешанное произведение в Д. Л. С. К. Пусть Найдем векторное произведение Тогда скалярное произведение вектора на вектор 71

Легко видеть, что полученное выражение является разложением определителя по элементам третьей строки. Итак, т. е. смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого находятся координаты перемножаемых векторов. 72

Свойства смешанного произведения векторов. 1. Смешанное произведение линейно по каждому из своих Смешанное произведение линейно по каждому трех аргументов (следует из свойств скалярного и векторного произведения). 2. Геометрический смысл смешанного произведения Пусть векторы не компланарны, тогда модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на векторах 73

Доказательство: Векторы не лежат в одной плоскости. На этих векторах, как на ребрах, построим параллелепипед. Построим также вектор , длина которого равна площади S основания параллелепипеда. где φ – угол между векторами и 1)Пусть тройка векторов правая (φ < /2 ), а h - высота параллелепипеда, тогда 74

Таким образом, Объем параллелепипеда V = Sh, следовательно, 2) Пусть тройка векторов левая (φ > /2) Таким образом, D 1 C 1 A 1 φ B 1 Следовательно, в этом случае D C K A B 75

Итак, окончательно, получаем Таким образом, смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах. 3. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны (критерий компланарности). Доказательство: Действительно, пусть векторы компланарны. Тогда вектор можно выразить через векторы то есть Тогда Так как 76

Т. е. смешанное произведение компланарных векторов равно нулю. Обратно, покажем, что если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны. Действительно, если бы эти векторы были бы некомпланарные, то на них можно было бы построить параллелепипед ненулевого объема 77

Доказательство: Ориентация тройки векторов не меняется при циклической перестановке векторов. Следовательно, Перестановка двух соседних векторов меняет ориентацию тройки на противоположную. Следовательно, 78

Докажем 3 свойство векторного произведения: Доказательство: Пусть произвольный вектор. Рассмотрим смешанное произведение Так как произвольный вектор, то 79

Примеры. 1) Проверить компланарны ли векторы: Решение Вычислим смешанное произведение данных векторов: Смешанное равно нулю, следовательно, векторы компланарны и базис не образуют. 80

2) Выяснить лежат ли точки А (-1, 4, 2), В (-3, 3, 1), С (0, 2, 5) и D (4, 1, 5) в одной плоскости. Решение Точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, если векторы компланарны, а значит, их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные, а значит, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. 81

Двойное векторное произведение. Выражение называется двойным векторным произведением и представляет собой вектор, перпендикулярный векторам и . Следовательно, он лежит в плоскости векторов Утверждение. Доказательство. Выберем ортонормированный базис таким образом, что . Пусть 82

Тогда 83

Итак, 84