Аналитическая геометрия в пространстве Прямоугольная система координат

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве Прямоугольная система координат в пространстве – это три взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая, направленная на нас, называется осью абсцисс, горизонтальная прямая, направленная вправо от нас - осью ординат, а вертикальная прямая, направленная вверх – осью аппликат Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие три числа: абсциссу, ординату и аппликату Абсцисса точки в пространстве – это расстояние от точки до плоскости OYZ Ордината точки в пространстве – это расстояние от точки до плоскости OXZ Аппликата точки пространстве– это расстояние от точки до плоскости OXY

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно вектору Z M 0(x 0; y 0; z 0) M(x; y; z) X Y

Общее уравнение плоскости 1. 2. 3. 4. Если D=0, то плоскость проходит через начало координат Если A=0, то плоскость параллельна оси ОХ Если В=0, то плоскость параллельна оси ОY Если C=0, то плоскость параллельна оси ОZ

Частные случаи расположения плоскости 5. Если C=D=0, то плоскость проходит через OZ 6. Если B=D=0, то плоскость проходит через OY 7. Если A=D=0, то плоскость проходит через OX 8. Если А=В=0, то плоскость параллельна OXY 9. Если C=В=0, то плоскость параллельна OZY 10. Если А=C=0, то плоскость параллельна OXZ 11. Если А=В=D=0, то имеем уравнение OXY 12. Если C=В=D=0, то имеем уравнение OZY 13. Если А=C=D=0, то имеем уравнение OXZ

Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть даны точки M 1(x 1; y 1; z 1), M 2(x 2; y 2; z 2), M 3(x 3; y 3; z 3) Точка M(x; y; z) лежит в данной плоскости, если векторы компланарны Т. к. , то

Уравнение плоскости в отрезках Z C(0; 0; c) B(0; b; 0) Y A(a; 0; 0) X

Параметрическое уравнение прямой в пространстве Z l M 0(x 0; y 0; z 0) M(x; y; z) O X Y

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Пусть прямая l проходит через точки M 1(x 1; y 1; z 1) и M 2(x 2; y 2; z 2), т. е.

Общие уравнения прямой Пусть прямая l является линией пересечения двух плоскостей и , заданных общими уравнениями: Тогда прямую l можно задать системой уравнений:

Пример: составить каноническое уравнение прямой

Угол между прямыми Пусть прямая l 1 задана уравнением А прямая l 2 соответственно уравнением Т. к. то

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений координат направляющих векторов этих прямых равна нулю Две прямые в пространстве параллельны тогда и только тогда, когда координаты направляющих векторов этих прямых пропорциональны

Угол между прямой и плоскостью Пусть прямая l задана уравнением А плоскость Т. к. То пусть задана уравнением

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда сумма произведений координат направляющего вектора прямой и вектора-нормали к плоскости равна нулю Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда координаты направляющего вектора прямой и векторанормали к плоскости пропорциональны

Угол между плоскостями Пусть плоскость А плоскость Т. к. То задана уравнением пусть задана уравнением

Условия параллельности и перпендикулярности между плоскостями Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений координат векторов-нормалей к этим плоскостям равна нулю Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда координаты векторов-нормалей к этим плоскостям пропорциональны

Расстояние от точки до плоскости Пусть плоскость задана уравнением А точка М 0 имеет координаты Тогда

Расстояние от точки до прямой Пусть прямая l задана уравнением А точка М 0 имеет координаты Тогда

Условия принадлежности прямой плоскости Пусть прямая l задана уравнением А плоскость задана уравнением Тогда прямая l лежит в плоскости тогда и только тогда, когда

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости Пусть прямая l 1 задана уравнением А прямая l 2 задана уравнением Тогда они лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда вектора компланарны, т. е. Причем, если координаты направляющих векторов пропорциональны, то прямые параллельны, в противном случае, прямые пересекаются