Аналитическая геометрия в пространстве «Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия в пространстве

«Аналитическая геометрия в пространстве» курса «Высшая математика» включает четыре основные темы: 1. Плоскость 2. Прямая в пространстве 3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 4. Поверхности 2 -го порядка

1. Плоскость Основные уравнения плоскости 1. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору 2. Общее уравнение плоскости. CBAN; ; ); ; (0000 zyx. M 0)()()(000 zz. Cyy. Bxx. A 0 DCz. By. Ax CBAN; ; — вектор нормали ); ; (0000 zyx. M CBAN; ; 3. Уравнение плоскости « в отрезках» 1 c z b y a x. Y X a b Z c

Уравнения плоскости 4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ); ; ( 2222 zyx. M ); ; (1111 zyx. M ); ; (3333 zyx. M); ; (1111 zyx. M ); ; ( 2222 zyx. M ); ; (3333 zyx. M CBAN; ; ); ; (zyx. M 0 131313 121212 111 zzyyxx 1111; ; zzyyxx. MM 12121221; ; zzyyxx. MM 13131331; ; zzyyxx. MM Условие компланарности векторов 0)(31211 MMMMMM

Построение плоскостей 1. Построить плоскость012643 zyx Находим координаты точек пересечения плоскости с осями координат. x 0 0 4 y 0 3 0 z 2 0 0 Z Y X 2 3 4 Можно привести уравнение плоскости к уравнению «в отрезках» 12643 zyx 1) Переносим вправо свободный член уравнения 2) Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части 1 12 6 12 4 12 3 zyx 3) Выбираем коэффициенты из числителей 1 234 zyx Числа, стоящие в знаменателях, являются длинами отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат

Построение плоскостей 2. Построить плоскость01053 yx В уравнении отсутствует переменная z. Находим точки пересечения плоскости с осями OX и OY. X 0 10/ 3 y -2 0 Соединяем точки прямой линией и получаем след плоскости на плоскости XOY. Из точек пересечения проводим прямые, параллельные оси OZ. Z Y X 10/3 -2 Аналогично строятся все плоскости, в уравнении которых отсутствует одна переменная 01472 zx X YZ 7 2 X YZ 23623 zy

Построение плоскостей 3. Построить плоскость083 z В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая плоскость проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т. е. она проходит параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3 на оси OZ. Z Y X 8/ 3 0 Аналогично строятся плоскости, в уравнениях которых отсутствуют две переменные 094 x 035 y Z X Y 0 Z X Y 9/4 3/

Таким образом, 1. если в уравнении плоскости отсутствует одна переменная, то плоскость проходит параллельно той оси координат, переменной которой нет в уравнении. 2. если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. 3. Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, то плоскость проходит параллельно координатной плоскости, переменных которой нет в уравнении. Уравнения координатных плоскостей 0 z 0 y 0 x — уравнение плоскости YOZ — уравнение плоскости XOY

Взаимное расположение плоскостей 1. Условие параллельности плоскостей 1111; ; CBAN 2222; ; CBAN 21||NN 21 21 21 C C B B A A 2. Условие перпендикулярности плоскостей 1 N 2 N 0)( 21 NN 2 N 1 N 0212121 CCBBAA 3. Косинус угла между плоскостями Угол между плоскостями – это угол между векторами нормалей этих плоскостей 2 2 2 2 1 2 1 212121 21), cos(cos CBACBA CCBBAA NN

Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости находится по формуле); ; (1111 zyx. M 0 DCz. By. Ax 222 111|| CBA DCz. By. Ax d ); ; (1111 zyx. M d Правило : для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно координаты точки подставить в левую часть уравнения плоскости, разделить на длину вектора нормали плоскости и полученное значение взять по абсолютной величине. Расстояние – величина всегда положительная! Расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость

2. Прямая в пространстве. Основные уравнения 1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору ); ; (0000 zyx. M pnms; ; p zz n yy m xx 000 — канонические уравнения pnms; ; — направляющий векторpnms; ; ); ; (0000 zyx. M 2. Параметрические уравнения 0 0 0 zptz ynty xmtx 3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ); ; (1111 zyx. M); ; (2222 zyx. M и 12 1 zz zz yy yy xx xx ); ; (1111 zyx. M ); ; (2222 zyx. M 21 MMs , 000 t p zz n yy m xx

Прямая в пространстве. Основные уравнения 4. Общее уравнение прямой в пространстве 0 0 2222 1111 Dz. Cy. Bx. A 1111; ; CBAN 2222; ; CBAN pnms; ; 222 11121 CBA kji NNs 20222 10111 Dz. Cy. Bx. A а) Направляющий вектор б) Нахождение точки на прямой ); ; (0000 zyx. M p zz n yy m xx 000 — канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве 1. Нахождение угла между прямыми. Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому угол между прямыми – это угол между направляющими векторами 2 2 2 2 1 2 1 212121 21 21)( cos pnmpnm ppnnmm ss ss 2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых Условие параллельности прямых 2 1 2 1 p p n n m m Условие перпендикулярности прямых 0212121 ppnnmm 21||ss 1 s 2 s 0)(21 ss 1 s 2 s

3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 1. Условие параллельности прямой и плоскостиpnms; ; CBAN; ; s. N 0)(s. N 0 Cp. Bn. Am 2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости CBAN; ; pnms; ; s. N || p C n B m

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью pnms; ; CBAN; ; Углом между прямой и плоскостью считается угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. На рисунке это угол . Из уравнений прямой и плоскости известны направляющий вектор прямой и вектор нормали плоскости. Косинус угла между этими векторами легко можно найти. Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит sincos Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как синус угла в данной ситуации может быть только положительным 222222 |||)(| sin pnm. CBA Cp. Bn. Am s. N

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно составить систему из уравнений прямой и плоскости 0 DCz. By. Ax t p zz n yy m xx 000 Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в параметрический вид 0 0 0 zptz ynty xmtx Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости 0)()()( 000 Dzpt. Cynt. Bxmt. A Из этого уравнения находим параметр и подставляем его значение в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения t

4. Поверхности 2 -го порядка Общее уравнение плоскости или прямой в пространстве – есть уравнения линейные относительно переменных и x y Уравнение поверхности 2 -го порядка 0 222 GFz. Ey. Dx. Cz. By. Ax 222 Cz. By. Ax квадратичная часть GFz. Ey. Dx линейная часть . К поверхностям 2 -го порядка относятся : сфера, эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры. Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и построить поверхность в системе координат. z ,

Классификация поверхностей второго порядка Название поверхности Каноническое уравнение Сфера Эллипсоид Однополостной гиперболоид Двуполостной гиперболоид Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Конус Эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр Параболический цилиндр2222 Rzyx 1 2 2 22 c z b y a x 12 2 2 c z b y a x 0 2 2 22 c z b y a x pz b y a x 22 2 2 2 12 2 b y a x pyx 22 илиpxy 22 12 2 b y a x

Поверхности второго порядка СФЕРА ПАРАБОЛОИДЫ ЭЛЛИПСОИД Ы КОНУСЫГИПЕРБОЛОИД Ы ЦИЛИНДРЫГИПЕРБОЛОИД Ы

1. Сфера Определение. Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром 2222 Rzyx ); ; (000 ‘zyx. O 22 0 2 0)()()(Rzzyyxx Уравнение сферы со смещенным центром Уравнение сферы с центром в начале координат В уравнение сферы входят квадраты трех переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые. !

Эллипсоид Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид a bc 12 2 2 c z b y a x , a, bc полуоси эллипсоида. Центр этого эллипсоида находится в начале координат. Уравнение эллипсоида с центром в точке имеет вид ); ; (000 ‘zyx. O 1 )()()( 2 2 0 c zz b yy a xx Признаки уравнения эллипсоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Одинаковые знаки при квадратах переменных 3. Разные коэффициенты при квадратах переменных

Гиперболоиды Канонические уравнения гиперболоидов 12 2 2 c z b y a x Каноническое уравнение однополостного гиперболоида Признаки уравнения однополостного гиперболоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения, в правой части плюс 1. , a, bc полуоси ab. В зависимости от знака перед единицей в правой части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.

Разные ориентации однополостных гиперболоидов Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в каноническом уравнении стоит знак минус. 12 2 2 c z b y a x Однополостный гиперболоид с осью симметрии OY 1 2 2 22 c z b y a x. Однополостный гиперболоид с осью симметрии OX c

Гиперболоиды Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида 12 2 2 c z b y a x Признаки уравнения двуполостного гиперболоида: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной в левой части уравнения, другой в правой части при 1. , a, bc полуоси c cz|| 12 2 b y a x cz 112 2 b y a x Если из уравнения выразить z, то получим Т. к. , то получается, что c Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.

Разные ориентации двуполостного гиперболоида Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит два знака минус в уравнении. Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. 12 2 2 c z b y a x 1 2 2 22 c z b y a x by|| ax|| b b

Конусы 2 -го порядка Каноническое уравнение конуса 02 2 2 c z b y a x Признаки уравнения конуса: 1. Наличие квадратов всех трех переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных 3. Свободный член в правой части уравнения равен нулю. Каноническое уравнение конуса от уравнений гиперболоидов отличает то, что в правой части уравнения стоит не единица, а ноль. Если один знак минус оставляем в левой части уравнения, то ось симметрии конуса определится также, как и для гиперболоидов: перед квадратом какой переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.

Конусы с разными осями симметрии Ось симметрии конуса определяется по уравнению02 2 2 c z b y a x 0 2 2 22 c z b y a x. Конус с осью симметрии OY Конус с осью симметрии OX

Параболоиды Канонические уравнения параболоидов можно записать в общем виде pz b y a x 2 22 Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной. В зависимости от знака между квадратами двух других переменных различают эллиптические и гиперболические параболоиды Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида : 1. Отсутствие квадрата одной из переменных 2. Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения pz b y a x 22 2 Эллиптический параболоид , ba pzyx 2 22 Круговой параболо ид Если то

Различные ориентации эллиптических параболоидов Характерным признаком уравнения эллиптического параболоида является присутствие всех трех переменных, но одно из них входит в уравнение только в первой степени, т. е. в уравнении параболоида отсутствует квадрат одной переменной. Ось симметрии параболоида параллельна той оси, координата которой в уравнении только в первой степени. py c z a x 22 2 параболоид с осью симметрии OY px c z b y 22 2 2 2 параболоид с осью симметрии OX Можно записать один из видов параболоидов со смещенной вершиной ), (202 2 zzp b y a x ); 0; 0( 0′ z. O — вершина параболоида Возможна также смена направления чаши параболоида. Если в каноническом уравнении в правой части стоит знак минус, то параболоид направлен в отрицательном направлении оси симметрии. где

Гиперболический параболоид Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет видpz b y a x 22 2 Признаки уравнения гиперболического параболоида: 1. Отсутствие квадрата одной из переменных 2. Разные знаки при квадратах переменных в левой части уравнения Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида является то что в левой части уравнения между квадратами переменных знак минус. Эта поверхность имеет форму седла. Возможны различные варианты ориентации гиперболического параболоида в зависимости от оси симметрии, знаков при квадратах.

Цилиндрические поверхности Цилиндрическая поверхность-это поверхность, которую описывает прямая линия (образующая), которая оставаясь параллельно самой себе движется вдоль некоторой кривой, называемой направляющей. По названию направляющей получают свое название и цилиндры. Если образующая параллельна какой-либо оси координат, то каноническое уравнение цилиндра не содержит в уравнении соответствующую переменную. В этом случае уравнение цилиндра повторяет уравнение своей направляющей. Вариантов различных уравнений цилиндров достаточно много. Для построения цилиндра нужно построить направляющую в той плоскости, в которой она задана, а затем «тянуть» эту линию вдоль той оси, координата которой отсутствует в уравнении. Признаки уравнения цилиндрической поверхности: В уравнении цилиндрической поверхности отсутствует одна переменная.

Виды цилиндров Круговые цилиндры: 222 Ryx 222 Rzy 222 Rzx ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY На рисунке изображен цилиндр с осью симметрии OZ. Для построения цилиндра строим окружность радиуса R в плоскости XOY, а затем «превращаем» эту окружность в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии. Можно построить цилиндр и таким способом: нарисовать две или несколько одинаковых окружностей параллельных другу на разной высоте, а затем соединить их образующими параллельными оси симметрии. R R Направляющей линией является окружность.

Эллиптические цилиндры12 2 b y a x 12 2 c z b y 1 2 2 c z a x ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY a b Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY, а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии. По внешнему виду при схематическом построении эллиптический и круговой цилиндры выглядят одинаково. Направляющей кривой являются эллипсы

Гиперболические цилиндры12 2 b y a x 1 2 2 c z b y 12 2 c z a x ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY 12 2 b y a x При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось симметрии самого цилиндра. В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.

Параболические цилиндрыpyx 22 pxy 22 pzy 2 2 pyz 2 2 pzx 2 2 pxz 2 2 ось симметрии OZ ось симметрии OX ось симметрии OY pyx 2 2 При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы: координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии. Направляющей этих цилиндров является парабола.