Аналитическая геометрия на плоскости План занятия 1

Аналитическая геометрия на плоскости

План занятия 1. Различные уравнения прямой на плоскости. 2. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости. 3. Угол между двумя прямыми на плоскости. 4. Кривые 2 -го порядка.

Различные уравнения прямой на плоскости Векторное (нормальное) уравнение прямой Определение. Любой ненулевой вектор , перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором этой прямой.

Пример 1 Составим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Решение. Согласно условию задачи, имеем: Тогда

Общее уравнение прямой и его исследование Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой.

Пример 2 Составим общее уравнение прямой, рассмотренной в примере № 1. Решение. Используем уравнение, составленное в примере № 1: Согласно требованию задачи, уравнение должно принять вид: Ах + Ву + С = 0. Для этого в нем следует раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом Каноническое уравнение й прямо Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой или принадлежащий ей, называется направляющим вектором данной прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Даны точка и угловой коэффициент k прямой, проходящей через эту точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пример 3 Составим уравнения прямых, содержащих стороны АВ и ВС треугольника АВС, если А(-2; 3), В(4; -5), С(0; 6). Сведем эти уравнения к общему виду. Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Для первой прямой используем координаты точек А и В, а для второй – В и С. Затем запишем как общие уравнения прямых, используя правило пропорции: или Заметим, что первые уравнения являются каноническими.

Уравнение прямой “в отрезках” Пусть требуется составить уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок величины а, а на оси Оу – отрезок величины b, причем оба отрезка ненулевые. Обозначим точки пересечения: А(а; 0) и В(0; b). Подставив их координаты в уравнение прямой, проходящей через две данные точки, получим: или

Пример 4 Составим уравнение прямой, содержащей сторону ВС треугольника АВС, если А(-2; 3), В(4; -5), С(0; 6), «в отрезках» . Решение. Воспользуемся уравнением прямой, составленным в примере № 3: . Для того, чтобы привести его к виду , перенесем свободный член в правую часть уравнения и произведем его почленное деление на полученное число: Таким образом, отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости Вид уравнения прямой Условие параллельности прямых Условие перпендикулярности прямых Общее С заданным угловым коэффициентом Каноническое k 1 = k 2 Направляющие векторы коллинеарны Направляющие векторы ортогональны

Пример 5 Определить, при каких значениях п 2 прямые будут параллельны или перпендикулярны. и Решение. Уравнения прямых являются каноническими. Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть имеют пропорциональные координаты: Прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно 0:

Угол между двумя прямыми на плоскости Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми на плоскости называется наименьший (т. е. острый или прямой) из углов, образованных при пересечении этих прямых. Если прямые параллельны, то угол полагают равным нулю.

Кривые второго порядка

Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости.

n Эллипс Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами). n Окружность Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Точки F 1 и F 2 – фокусы эллипса. Отрезок V 1 V 2 - большая ось эллипса. Отрезок v 1 v 2 - малая ось эллипса.

Каноническое уравнение эллипса: а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса. Если 2 с — расстояние между фокусами, то между a, b и с (если а > b ) существует соотношение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси: У эллипса эксцентриситет е < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Пример 6 Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) а = 6, b = 4; Решение. Простейшее уравнение эллипса имеет вид: Подставляя, получим:

Пример 6 Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: б) расстояние между фокусами 10, а большая ось 16 Решение. По условию задачи: Для эллипса имеем: Таким образом, получим: и уравнение эллипса будет иметь вид:

Уравнение окружности где а и b – координаты центра окружности, r – радиус окружности. Если центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид:

Пример 7 Составить уравнение окружности с центром С (- 4; 7) и радиусом r = 5. Решение Подставим координаты центра и радиус окружности в каноническое уравнение: Получим: или

Парабола образуется, когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая — ее директрисой.

Точка F фокус параболы. Прямая LL’ - директриса параболы.

Каноническое уравнение параболы р - параметр параболы, равный расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса. Координаты фокуса F параболы. Уравнение директрисы параболы Эксцентриситет параболы е = 1.

Гипербола. образуется, когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

Определение Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы, есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Точки F 1 и F 2 – фокусы гиперболы. Отрезок V 1 V 2 – поперечная (действительная) осьгиперболы. Отрезок v 1 v 2 - сопряженная (мнимая) осьгиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы а — действительная полуось гиперболы, b — мнимая полуось гиперболы. Если 2 с — расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и с существует соотношение: Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид: Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситет гиперболы:

Пример 8 а) Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30. Решение. Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2 а = 20, 2 с = 30. Значит, а =10, с = 15; а 2 = 100; с2 = 225. Величины а, b и с у гиперболы связаны соотношением Отсюда b 2= 225 – 100 = 125. Значит, уравнение гиперболы имеет вид:

Пример 8 б) Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 1, 4. Составить уравнение гиперболы. Решение. Имеем: а = 5, отсюда а 2 = 25, с2 = 49; b 2 = 49 – 25 = 24; Искомое уравнение имеет вид: