Скачать презентацию Аналитическая геометрия Лекции 8 9 Прямая на Скачать презентацию Аналитическая геометрия Лекции 8 9 Прямая на

Прямая на плоскости.Лекции 8.ppt

  • Количество слайдов: 32

Аналитическая геометрия Лекции 8, 9 Аналитическая геометрия Лекции 8, 9

Прямая на плоскости Прямая на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и любой точки данной Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема. Всякое уравнение первой степени где А и В не обращаются в нуль одновременно, Теорема. Всякое уравнение первой степени где А и В не обращаются в нуль одновременно, представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой и обозначать Итак, . Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой и обозначать Итак, . Вектор, параллельный прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой: Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой: у о х

Уравнение прямой, перпендикулярной вектору. Пусть точка прямой. Точка точка прямой. . лежит на -произвольная Уравнение прямой, перпендикулярной вектору. Пусть точка прямой. Точка точка прямой. . лежит на -произвольная

Тогда скалярное произведение Тогда скалярное произведение

Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору: Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору:

Общее уравнение прямой Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой Общее уравнение прямой Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой Каноническое уравнение прямой

Пусть и Пусть и

Тогда из условия коллинеарности векторов и получаем каноническое, т. е. простейшее уравнение прямой: Тогда из условия коллинеарности векторов и получаем каноническое, т. е. простейшее уравнение прямой:

Пример Написать уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно вектору. Первое уравнение второе Пример Написать уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно вектору. Первое уравнение второе и.

Уравнение прямой, проходящей через две точки Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть Пусть

Координаты этих векторов пропорциональны: Получили уравнение прямой, проходящей через две точки. Координаты этих векторов пропорциональны: Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрические уравнения прямой Приравняем обе части соотношения к t. Получим параметрические уравнения прямой Параметрические уравнения прямой Приравняем обе части соотношения к t. Получим параметрические уравнения прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Преобразуем уравнение к виду Уравнение прямой с угловым коэффициентом Преобразуем уравнение к виду

Обозначив , где получим , Обозначив , где получим ,

Уравнение прямой , проходящей через точку Пусть точка лежит на прямой. Тогда Вычтем из Уравнение прямой , проходящей через точку Пусть точка лежит на прямой. Тогда Вычтем из первого второе соотношение. Получим

Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой в отрезках

Взаимное расположение прямых Взаимное расположение прямых

Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы общими уравнениями Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы общими уравнениями

Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями , т. е. Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями , т. е.

Пусть даны прямые Пусть даны прямые

Тогда Тогда

Условия параллельности Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий Условия параллельности Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий ( в зависимости от вида уравнений прямых).

Условие перпендикулярности Условие перпендикулярности

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки прямой формуле до находят по. Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки прямой формуле до находят по.

Пример Найти уравнение прямой, проходящей через точки и. Пример Найти уравнение прямой, проходящей через точки и.