Аналитическая геометрия Эллипс Определение Эллипсом называется геометрическое

Аналитическая геометрия Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Обозначим: F 1, 2 - фокусы, 2 с – расстояние между фокусами, 2 а – сумма расстояний от произвольной точки M(x, y) эллипса до фокусов. По условию 2 с<2 а ⇒ с

Введем прямоугольную систему Ох, у координат так, чтобы ось Ox проходила через фокусы F 1, 2, а центр системы совпадал с серединой отрезка F 1 F 2. Тогда фокусы F 1, 2 имеют координаты (± с, 0).

Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда выполнено равенство F 1 M + F 2 M = 2 a, т. е. Преобразуем последнее уравнение.

Так как а>с, то а 2>c 2. Положим Тогда последнее уравнение имеет вид b 2 a 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Последнее уравнение равносильно исходному. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Заметим, что a≥b или

Уравнение эллипса содержит переменные х и у только во второй степени, поэтому, если точка (х; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (-х, -у), (-х, у), (х, -у). Отсюда следует, что Эллипс симметричен относительно осей Ох, Оу и относительно точки О(0, 0).

Точки пересечения эллипса с осями координат. 1. Положим у=0, получим х=±а. 2. Положим х=0, получим у=±b. Точки (±a, 0), (0, ±b) называются вершинами эллипса. а – большая полуось, b – малая полуось.

Из уравнения эллипса следует, что или –а ≤х ≤а и -b ≤у ≤b. Т. е. все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми х= ±а, у=±b.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное c/a. Обозначение: Ɛ=c/a.

Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса. Заметим, что 0≤Ɛ<1. Если Ɛ=0, то c=0 и b=a. В этом случае эллипс – это окружность. Если Ɛ→ 1, то с ≈ a и b<

Пример 1: Найти параметры a, b, с и Ɛ эллипса, заданного уравнением Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду Отсюда следует, что a=8, b=6, .

Пример 2: Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение Разделив обе части уравнения на 15, получим Это каноническое уравнение эллипса в начале координат (0; 0) и полуосями a= , b=

Задания: 1. Написать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси a=5, b=4. 2. Дан эллипс. Определить его оси и расстояние между фокусами. 3. Дан эллипс, каноническое уравнение которого имеет вид. Найдите координаты его фокусов, эксцентриситет. 4. Дан эллипс. Найти длины осей, координаты вершин и фокусов, эксцентриситет. 5. Постройте кривую. Найдите фокусы, эксцентриситет.

Ответы: 1. 2. 2 a=30; 2 b=18; 2 c=24. 3. (-4; 0) ; (4; 0) ; c=4/5. 4. 2 a=10; 2 b=8; A 1=(5; 0) ; A 2=(-5; 0); F 1=(3; 0); F 2=(-3; 0); Ɛ=3/5. 5. ;