АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Автор Орагвелидзе Мариам Гочаевна Студентка 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Автор: Орагвелидзе Мариам Гочаевна. Студентка 1 курса направления "Туризм, ,

Оглавление Введение - системы координат на плоскости и в пространстве - преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости - простейшие задачи аналитической геометрии - прямая на плоскости - плоскость - линии второй степени

Введение Аналитическая геометрия, раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано P. Декартом в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Декарт Рене Декарт (1596 — 1650) — Знаменитый французкий философ и математик. Опубликование его "Геометрии" (одно из приложений к философскому трактату "Рассуждение о методе") в 1637 г. условно считается датой рождения аналитической геометрии.

Пьер Ферма (1601 — 1665) — Знаменитый французкий математик, один из предшественников Ньютона и Лейбница в разработке дифференциального исчисления. Внес большой вклад в теорию чисел. Большинство работ Ферма (в том числе по аналитической геометрии) не публиковалось при жизни автора.

Леонард Эйлер (1707 — 1783) — Родился в Швейцарии. В 1727 прибыл в Россию. Работал научным сотрудником Петербургской академии наук, затем в качестве академика. Впервые применил координатный метод аналитической геометрии к изучению пространственных линий и поверхностей. Во всех физикоматематических науках сделал важнейшие открытия.

Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox). О - начало координат, - оси координат, , - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), - базисные векторы.

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости. Параллельный сдвиг координатных осей. Поворот координатных осей.

Простейшие задачи аналитической геометрии. Векторы и точки. Задача состоит в том, чтобы выразить координаты вектора через координаты его начала и конца. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат с началом системы координат в точке O и вектор АВ, у которого известны координаты его начала A(x a; уа; za) и конца B(xb; yb; zb). Определим координаты {l; m; n} вектора АВ. Координаты точек A и B представляют собой координаты их радиус-векторов OА и OВ. Следовательно, OВ - OА = {xb — xa; yb — уа; zb — za} и из соотношения АВ = ОВ — ОА заключаем, что {l; m; n} = {xb - xa; yb - ya; zb - za}, т. е. В случае прямоугольной системы координат на плоскости координаты вектора АВ = {l; m} на этой плоскости и координаты точек его начала A(xa; уа) и конца B(xb; yb) связаны аналогичными соотношениями Из (4. 10) и (4. 11) вытекают правила: координаты вектора получают вычитанием из координат его конца координат его начала; координаты конца вектора получают сложением координат вектора с координатами его начала; координаты начала вектора получают вычитанием из координат его конца координат вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости. Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М 1(х1 у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М 1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху. Пусть М(х, у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору , лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, )=0 , или в координатной форме А(х – х1) + В(у – у1) = 0 Произведем преобразования – раскроем скобки: АX + ВY + [-АX 1 – ВY 1 ] = 0 В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости. АX + ВY + С = 0

Плоскость Плоскость, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие "П. " обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства П. : 1) П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки. 2) П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Линии второй степени. Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

Вывод. Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

Спасибо за внимание!