АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Аналитическая геометрия — раздел математики

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Аналитическая геометрия - раздел математики, который исследует простейшие геометрические объекты на основе метода координат. Создание аналитической геометрии приписывают Рене Декарту, изложившему ее основы в трактате Рассуждение о методе (1637 г. !!!). Основная задача - изучение геометрических фигур с помощью алгебраических соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы.

Система координат - способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Прямоугольная (декартова) система задана двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Горизонтальная - ось абсцисс (Ох), вертикальная — ось ординат (Оу), т. О - начало координат. Систему обозначают Оху.

Координаты точки Μ на плоскости: М(х; у), число x - абсцисса, у - ордината.

ЗАДАНИЕ: Точка В симметрична точке А (3; -2) относительно оси абсцисс. Тогда расстояние между точками А и В равно. . . ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1. 2. 3. 4 4. 6

Решение: Условие для точек симметричных Ох: абсциссы точек равны, а ординаты имеют противоположные знаки, поэтому координаты точки В (3; 2). Расстояние по формуле: Ответ: пункт 3.

Линия - множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством. Определяют положение линии неявным уравнением F(x; y) = 0 или явным y = f(x), которому удовлетворяют координаты каждой её точки и не удовлетворяют координаты любой точки вне линии. Линии: прямая, ломаная, окружность, парабола, гипербола, синусоида …

Чтобы установить лежит ли точка А(x; у) на линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки уравнению линии (!!!) Уравнение линии может быть выражено параметрическим способом: координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Пример: Траектория движущейся точки - роль параметра играет время t.

ЗАДАНИЕ (выберите варианты ответов) Точка А (2; 3) лежит на прямой с уравнением… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) x – 4 y +10 = 0 2) y = 3 x - 3 3) y = - 2 x + 5 4) 4 x – 2 y + 3 = 0 ответ: Точка А лежит на прямых, заданных уравнениями № 1, № 2.

Прямая – простейшая геометрическая фигура.

Прямая l определяется заданием точки, в которой она пересекает ось Оy (точка B) и угловым коэффициентом k. B = (0; b) – точка пересечения прямой l с осью Оy, M = (x; y) – любая точка на этой прямой. Уравнение y = kx + b (1) наз. уравнением прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл: угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох; начальная ордината b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оy.

Прямая на плоскости задается общим уравнением 1 -го порядка: Ах + Ву + С = 0 В зависимости от значений А, В и С возможно: C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат { 2 x + 5 y = 0} А = 0, В 0, С 0 { 7 y + 3 = 0} - прямая параллельна оси Ох В = 0, А 0, С 0 { 5 x + 8 = 0} – прямая параллельна оси Оу

Уравнение прямой по точке и вектору нормали. В декартовой системе координат вектор с компонентами (А; В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через т. А (1; 2) перпендикулярно вектору (3, -1). Решение: Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3 х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А: 3 – 2 + C = 0, следовательно С= -1. Ответ: искомое уравнение: 3 х – у – 1 = 0.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий F 1(x; y) = 0 и F 2(x; y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий (т. е. к решению системы): Если система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются (!!!).

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть в 3 -х мерном пространстве заданы две точки M 1(x 1, y 1, z 1) и M 2(x 2, y 2, z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

На плоскости уравнение прямой упрощается: Дробь = k называют угловым коэффициентом прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М (x 1; y 1) с данным угловым коэффициентом: y – y 1 = k · (x – x 1).

Угол между прямыми на плоскости Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, то угол α между ними определяют по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых 2 прямые параллельны, если k 1 = k 2. перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2, т. е. k 1· k 2= -1. Пример. Доказать, что прямые 3 х – 5 у + 7 = 0 и 10 х + 6 у – 3 = 0 перпендикулярны. Решение: Находим угловые коэффициенты прямых: следовательно, прямые перпендикулярны.

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой Прямая, проходящая через точку М 1(х1; у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b, представляется уравнением:

Вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Находим уравнение стороны АВ: 4 x = 6 y – 6; 2 x – 3 y + 3 = 0; Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b;

Т. к. высота проходит через точку С, то её координаты удовлетворяют данному уравнению: Откуда b = 17. Итого: Ответ: уравнением высоты, проведенной из вершины С является 3 x + 2 y – 34 = 0.

Расстояние между двумя данными точками с координатами М 1 (х1; у1) и М 2 (х2; у2) рвно: Пример. Найти расстояние между точками М 1(-6; -7) и М 2(-9; -3). Решение:

Даны точки М 1 (х1; у1) и М 2 (х2; у2), тогда координаты середины отрезка определяют: Расстояние от точки до прямой Если задана точка М(х0; у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

ЗАДАНИЕ N 5 ( выберите вариант ответа) Даны две смежные вершины квадрата: A (5; 6) и B (-2; 5). Тогда площадь квадрата равна… 1) 10 2) 3) 50 4) Решение: Найдём сторону АВ: Площадь квадрата: S = AB 2 = Ответ: пункт № 3

Пример: Даны две смежные вершины куба А (3; 7; 2) и В (-1; 4; 2). Найти объём куба. Решение: Вычислим расстояние между точками А и В, которые образуют ребро куба: Объём куба равен: V = АВ 3 = 53 = 125 (куб. ед).

Кривые второго порядка Кривой 2 -го порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению aх2 + bху + cу2 + dx + fy + g = 0, где a; b; c; d; f; g - вещественные числа. Данное уравнение в зависимости от коэффициентов может задавать распространенные типы кривых: окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки (центр), на заданное ненулевое расстояние (радиус). Уравнение окружности с центром в точке С (а, b) и радиусом R: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2.

Эллипс (греч. недостаток) - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух точек F 1 и F 2 (фокусов) эллипса – величина постоянная. Уравнение эллипса: где a – большая полуось; b – малая полуось.

Гипербола (греч. избыток ) - множество точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Каноническое уравнение гиперболы: a - действительная полуось гиперболы, b – мнимая.

Парабола - множество точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, наз. фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: y 2 = 2 px, осью симметрии является ось абсцисс, при р > 0 расположена справа от оси ординат, при р < 0 расположена слева от оси ординат. Уравнение х2 = 2 рy – уравнение параболы, осью симметрии является ось ординат. При р > 0 ветви параболы направлены вверх, при р < 0 ветви направлены вниз.

ЗАДАНИЕ (выберите вариант ответа) Уравнение на плоскости определяет … ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) гиперболу 2) эллипс 3) параболу 4) пару прямых Ответ: гипербола

Уравнение поверхности в пространстве Простейшей поверхностью является плоскость, которую в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения. Плоскость - поверхность, точки которой удовлетворяют уравнению: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0, где А, В, С – координаты вектора нормали к плоскости, M 0(x 0, y 0, z 0) – любая точка плоскости.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M 0(x 0, y 0, z 0) и вектором , перпендикулярным этой плоскости

Пример: точка Р (-1; 2; 3) принадлежит плоскости 2 x – 4 y + Cz – 5 = 0. Чему равен коэффициент С? Решение: По условию: x 0 = -1, y 0 = 2, z 0 = 3. В уравнении плоскости А = 2, В = - 4. Подставим указанные данные в уравнение: 2·( x + 1) – 4·(y – 2) + C·(z – 3) = 0 Раскроем скобки: 2 x +2 – 4 y + 8 + Cz – 3 C = 0, тогда свободный коэффициент будет: 2 + 8 – 3 С. По условию коэффициент равен числу -5, тогда: 2 + 8 – 3 С = -5, значит 10 – 3 С = -5. Ответ: С = 5.

ЗАДАНИЕ (-введите ответ) Если плоскость Ax+By +5 z - 9 = 0 проходит через точку Т (2; -2; 3), то разность коэффициентов А – В равна … Решение: A (x – x 0) + B (y – y 0)+ C (z – z 0) = 0, тогда A (x – 2) + B (y + 2)+ C (z – 3) = 0, раскроем скобки Ax – 2 A + By + 2 B + Cz – 3 C = 0; по условию: C = 5, тогда Ax + By – 2 A + 2 B + 5 z – 3· 5 = 0; – 15 – 2 A + 2 B= -9; – 15 + 9 = 2 A – 2 B; - 6 = 2(A – B); A – B = - 3 Ответ: разность коэффициентов А – В равна - 3.

Конец фильма!