Алгоритмы сканирования и обхода Лекция 3 Алгоритм

Алгоритмы сканирования и обхода Лекция 3

Алгоритм сканирования графа Input: Орграф (граф) G и вершина s. Output: Множество R вершин, достижимых из s, и множество T E(G) такое, что (R, T) ордерево с корнем в s (дерево). Set R : ={s}, Q : ={s} and T : = ø. 2) If Q= ø then stop, else выбрать v Q. 3) Выбрать w V(G) R с e=(v, w) E(G). If нет такой w then Q : = Q{v} и go to 2. • Set R: = R ⋃{w}, Q : = Q ⋃{w} и T : = T⋃{e}. Go to 2. 1)

Связность Предложение 3. 1 Алгоритм сканирования графа находит решение.

Доказательство (для орграфа) • По построению (R, T) ордерево с корнем в s. • Предположим, что существует w V(G)R , достижимая из s. • Пусть P ― s-w-путь из s в w, и (x, y) дуга в P, такая что x R и y R. • Так как x была добавлена в R, то она была добавлена в Q, на каком-то шаге алгоритма. • Алгоритм не остановится пока не удалит x из Q. • По шагу 3 это возможно только если нет дуги (x, y) с y R.

Матрица инцидентности • Матрицей инцидентности графа G называется матрица A=( av, e)v V(G), e E(G) , где • Матрицей инцидентности орграфа G называется матрица A=( av, e)v V(G), e E(G) , где

Матрица смежности • Матрица смежности простого графа G ― 0 -1 - матрица A=( av, w)v, w V(G) с av, w=1 тогда и только тогда, когда (v, w) E(G). • Матрица смежности удобна, когда граф плотный, то есть имеет Θ(n 2) ребер.

Разреженные графы (O(n) ребер) • Список ребер с указанием его граничных точек. • Сопоставим каждой вершине число от 1 до n. • (2 m + 1)log n = O(m log n)

Лист смежности • Сопоставим каждой вершине список ее инцидентных ребер. • Для орграфа сопоставим каждой вершине два списка: список входящих в нее ребер и список исходящих из нее ребер. • Такая структура данных называется листом смежности. • Для прямого доступа к списку каждой вершины заведем указатели на начало списка (2 n log m) • O(m log n + n log m)

Время работы алгоритма сканирования графа Предложение 3. 2 Алгоритм сканирования графа требует O(m+n) элементарных операций. Связные компоненты графа могут быть найдены за линейное время.

Алгоритм сканирования графа Input: Орграф (граф) G и вершина s. Output: Множество R вершин, достижимых из s, и множество T E(G) такое, что (R, T) ордерево с корнем в s (дерево). Set R : ={s}, Q : ={s} and T : = ø. 2) If Q= ø then stop, else выбрать v Q. 3) Выбрать w V(G)R с e=(v, w) E(G). If нет такой w then Q : = Q{v} и go to 2. • Set R: = R ⋃{w}, Q : = Q ⋃{w} и T : = T⋃{e}. Go to 2. 1)

Поиск ? В каком порядке выбирать вершины на шаге 3 ? • Поиск в глубину (DFS-процедура) Выбираем v Q , последнюю из добавленных в Q. Другими словами, Q рассматривается как LIFO-стек (последний зашел, первый вышел). • Поиск в ширину (BFS-процедура) Выбираем v Q , первую из добавленных в Q. Здесь Q рассматривается как FIFO-очередь (первый зашел, первый вышел). • Дерево (R, T) построенное DFS -процедурой (resp. BFS процедурой ) называется DFS-дерево (resp. BFS-дерево).

BFS-дерево Предложение 3. 3 BFS-дерево содержит кратчайший путь из s к каждой вершине, достижимой из s. Величина dist. G(s, v) для всех v V(G) может быть определена в линейное время.

Алгоритм сканирования графа-BFS Input: Орграф (граф) G и вершина s. Output: Множество R вершин, достижимых из s, и множество T E(G) такое, что (R, T) ордерево с корнем в s (дерево). Set R : ={s}, Q : ={s} and T : = ø, l(s): =0. 2) If Q= ø then stop, else выбрать v Q. 3) Выбрать w V(G) R с e=(v, w) E(G). If нет такой w then Q : = Q{v} и go to 2. • Set R: = R ⋃{w}, Q : = Q ⋃{w} и T : = T⋃{e} l(w): = l(v) +1. Go to 2. 1)

Доказательство Предложения 3. 3 • • • l(v) = dist(R, T)(s, v) Пусть v текущая просматриваемая вершина (выбранная на шаге 2). Не существует w R с l(w) > l(v) + 1. Предположим, что после завершения работы алгоритма существует w V(G) c dist(G)(s, w) < dist(R, T)(s, w). Пусть w лежит на кратчайшем расстоянии от s в G среди всех вершин с таким свойством. Пусть P кратчайший s-w-путь в G и e = {v, w} последнее ребро в P. Тогда dist(G)(s, v) = dist(R, T)(s, v) и e T. Кроме того, по предположению l(w) = dist(R, T)(s, w) > dist(G)(s, w) = =dist(G)(s, v) + 1= dist(R, T)(s, v) + 1 = l(v) + 1. Следовательно w R, когда v удаляется из Q. Противоречие шагу 3 алгоритма.

Алгоритм поиска сильно связных компонент Input: Орграф G. Output: Функция comp: V(G) N, указывающая принадлежность вершины к сильно связной компоненте. 1) Set R : = ø. Set n: = 0. 2) For all v V(G) do: If v ∉ R then Visit 1(v). 3) Set R : = ø. Set K : = 0. 4) For i : =|V(G)| down to 1 do: If -1(i) ∉ R then K : = K+1 and Visit 2( -1(i)).

Алгоритм поиска сильно связных компонент (2) Visit 1(v) 1) 2) 3) Set R : = R ⋃{v}. For all w V(G) R с (v, w) E(G) do Visit 1(w). Set n : = n +1, (v) : = n и -1(N) : = v. Visit 2(v) 1) Set R : = R ⋃{v}. 2) For all w V(G) R с (w, v) E(G) do Visit 2(w). 3) Set comp(v) : = K.

Пример a b (1) c c g a(6) c(7) d (3) e (2) g(5) f (4) e (2) c(7) d (3) e (2) c d (3) f b (1) e b (1) g(5) f (4) d f e a(6) g g d f b (1) a

Сильная связность Теорема 3. 4 Алгоритм поиска сильно связных компонент находит сильно связные компоненты в линейное время. b a c g f d e

Эйлеров граф • Определение 3. 5 Эйлеровым обходом в графе G называется замкнутый обход, содержащий все ребра. Граф G называется Эйлеровым если степень каждой вершины четна. Орграф G ― Эйлеров, если |d–(v)|= |d+(v)| для всех v V(G). • Теорема 3. 6 (Эйлер [1736]) Граф G имеет Эйлеров обход тогда и только тогда, когда он ― связный и Эйлеров.

Алгоритм Эйлера Input: Связный Эйлеров граф G. Output: Эйлеров обход W в G. • Выбрать произвольную v 1 V(G). Return W : =Euler(G, v 1). -------------------------------------------Euler(G, v 1). 1) Set W : = v 1 и x : = v 1. 2) If d(X) = then go to 4. Else пусть e d(X) , скажем e ={x, y}. 3) Set W : = W, e, y и x : = y. Set E(G ) : = E(G ) {e } и go to 2. 4) Let v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , …, vk , ek , vk+1 be the sequence W. For i : =1 to k do: Set Wi : = Euler(G, vi). 5) Set W : = W 1, e 1, W 2, e 2, …, Wk, ek, vk+1. Return W. --------------------------------------------

Алгоритм Эйлера(2) Теорема 3. 7 Алгоритм Эйлера находит решение за O(m+n) элементарных операций, где n = |V(G)| и m = |E(G)|.

Доказательство (индукция по |E(G)|) • E(G) = ø (очевидно) • Так как степени вершин четные, то vk+1=x=v 1, когда выполняется шаг 4. • W замкнутый обход. • Пусть G’ граф G на этот момент. В G’ также степени всех вершин четны.

Биразбиение • Биразбиением графа G называется разбиение множества вершин V(G)=A⋃B так что подграфы индуцированные на A и B оба пустые. • Граф называется двудольным, если для него существует биразбиение.

Теорема Кёнига Предложение 3. 8 (König[1916]) • Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины. • Существует линейный алгоритм, который по данному графу находит либо его биразбиение, либо цикл нечетной длины.

Достаточность • Пусть G ― связный. • Выберем произвольную вершину s V(G). • Применим поиск в ширину и найдем расстояние от s до остальных вершин. • Пусть T будет полученное BFS-дерево. • A : = {v V(G): dist. G(s, v) четно}. • B : = {v V(G): dist. G(s, v) нечетно}. • e={x, y} ― ребро в G[A] или в G[B]. • x-y-путь в T вместе с e дают нечетный цикл. • Таких ребер в G[A] и в G[B] нет! • A⋃B ― биразбиение, G ― двудольный.

Упражнение 3. 1 Пусть G ― простой граф. Доказать, что G или его дополнение связно.

Упражнение 3. 2 • Доказать, что любой разрез в неориентированном графе является непересекающимся объединением минимальных разрезов

Упражнение 3. 3 • Дан граф или орграф G. Показать, что существует линейный алгоритм находящий цикл или показывающий, что его не существует.

Упражнение 3. 4 • Пусть G ― неориентированный граф, C ― цикл в нем, а D ― разрез. Показать, что |E(C)∩D| четно.