Алгоритмы основные понятия Свойства алгоритмов Этапы разработки Основные

Алгоритмы: основные понятия Свойства алгоритмов Этапы разработки Основные типы задач Анализ эффективности алгоритмов Основные классы алгоритмов ©Павловская Т. А. (СПб. ГУ ИТМО) 1

Алгоритмом называют точное предписание, которое задает вычислительный процесс и представляет собой конечную последовательность обычных элементарных действий, четко определяющую процесс преобразования исходных данных в искомый результат. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 2

Свойства алгоритма n Каждый алгоритм имеет дело с данными — входными, промежуточными и выходными. n Конечность (1 — алгоритм состоит из отдельных элементарных действий, множество различных действий конечно; 2 — алгоритм должен заканчиваться за конечное число шагов. ) n Дискретность (конечная последовательность отдельных шагов; каждый шаг выполняется за конечное время) n Детерминированность (определенность) n Элементарность (понятность) n Результативность n Массовость n Эффективность ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 3

Основные способы записи алгоритмов n вербальный n символьный n графический ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 4

Этапы разработки и анализа алгоритмов ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 5

Базовые структуры данных Линейные: массив и список n строки, битовые массивы n одно- ни двунаправленные списки, стек, очередь, очередь с приоритетами Граф n ориентированный и неориентированный; взвешенный n дерево: связный ациклический граф n дерево поиска (бинарное) Множество n мультимножество ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 6

Важные типы задач n сортировка; n поиск; n обработка строк; n задачи из теории графов; n комбинаторные задачи; n геометрические задачи; n численные задачи. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 7

Основы анализа эффективности алгоритмов Когда вы можете измерить и выразить в цифрах то, о чем говорите, вы что-то знаете об изучаемом предмете. Лорд Кельвин (1824 -1907) n Временн. Ая эффективность является индикатором скорости работы алгоритма n оценивается по количеству основных операций, которые должен выполнить алгоритм при обработке входных данных размера n n Важен порядок роста времени выполнения алгоритма в зависимости от n n Пространственная эффективность показывает, сколько дополнительной оперативной памяти нужно для работы алгоритма n Эффективность оценивают в наихудшем, наилучшем и среднем случаях n Виды анализа: математический и эмпирический ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 8

Измерение времени выполнения алгоритма n Непосредственное (эмпирический анализ) n Определение количества базовых операций, которые должен выполнить алгоритм при обработке входных данных размера n (математический анализ) T(n) сор * С(n) n пусть, например, С(n) = n(n — 1)/2 n Насколько дольше будет выполняться программа, если удвоить размер входных данных? ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 9

Порядок роста n При малых размерах входных данных невозможно заметить разницу во времени выполнения между эффективным и неэффективным алгоритмом. n Для больших значений n вычисляют порядок роста функции. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 10

Приближенные значения функций, важных для анализа алгоритмов n log 2 n n n·log 2 n n 2 n 3 2 n n! 101 3, 3· 101 102 103 3, 6· 106 102 6, 6· 102 104 106 1, 3· 1030 9, 3· 10157 103 10· 103 106 109 104 13· 104 108 1012 105 17· 105 1010 1015 106 20· 106 1012 1018 ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 11

Эффективность алгоритма в разных случаях n Cуществует большое количество алгоритмов, время выполнения которых зависит не только от размера входных данных, но и от конкретных особенностей входных данных (пример – поиск). n Эффективность измеряют для: n n наилучшего случая n n наихудшего случая среднего случая Пример: среднее количество операций сравнения при поиске: ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 12

Асимптотические обозначения Нестрогие определения «О большое» n О (g(n)) —множество всех функций, порядок роста которых при достаточно больших n не превышает некоторую константу, умноженную на значение функции g(n). ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 13

Строгое определение Говорят, что функция t(n) принадлежит множеству O(g(n)), что записывается как t(n) O(g(n)) если для всех больших значений n функция t (n) ограничена сверху некоторой константой, умноженной на значение функции g(n), т. е. если существует положительная константа с и неотрицательное целое число nо такое, что t (n) сg(n) для всех n nо. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 14

«Омега» Ω (g(n)) — множество всех функций, порядок роста которых при достаточно больших n не меньше некоторой константы, умноженной на значение функции g(n). ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 15

«Тэта» Θ(g(n)) — множество всех функций, порядок роста которых при достаточно больших n равен некоторой константе, умноженной на значение функции g(n) ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 16

Свойства обозначений Если t 1(n) O(g 1(n)) и t 2(n) O(g 2(n)) , то t 1(n) + t 2(n) O(max { (g 1(n)), (g 2(n)) }) Аналогично для остальных обозначений. Это свойство с точки зрения анализа эффективности означает, что общая эффективность алгоритма, состоящего из двух исполняемых частей, зависит от той части, которая имеет наибольший порядок роста, т. е. от его наименее эффективной части. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 17

Использование пределов для сравнения порядка роста двух функций ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО)

Примеры ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 19

Основные классы эффективности n Константа n Логарифмическая n Линейная n n-log-n n Квадратичная n Кубическая n Экспоненциальная n Факториальная ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 20

Эмпирический анализ алгоритмов 1. Уяснение цели предстоящего эксперимента. 2. Определение измеряемой метрики М и единиц измерения (количество операций или время работы). 3. Определение характеристик входных данных (их диапазон, размер и т. д. ). 4. Создание программы, реализующей алгоритм (или алгоритмы), для проведения эксперимента. 5. Генерация образца входных данных. 6. Выполнение алгоритма (или алгоритмов) над образцом входных данных и запись наблюдаемых данных. 7. Анализ полученных данных. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 21

Различия между математическим и эмпирическим анализом алгоритмов Преимущество математического анализа — независимость от конкретных входных данных n недостаток — ограниченная применимость, в особенности для исследования эффективности в среднем случае. Эмпирический анализ применим к любому алгоритму, n но его результаты могут зависеть от конкретных входных данных и использованного для проведения эксперимента компьютера. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 22

Визуализация алгоритмов n Визуализация алгоритмов - еще один путь изучения алгоритмов, помимо математического и эмпирического анализа: n n n статическая динамическая (анимация) «Десять заповедей анимации алгоритмов» : 1. Последовательность. 2. Интерактивность. 3. Ясность и краткость. 4. Снисходительность к пользователю и прощение его ошибок. 5. Адаптация к уровню знаний пользователя. 6. Упор на визуальную часть. 7. Удержание интереса пользователя. 8. Символьное и пиктограммное представление. 9. Наличие анализа алгоритма (статистики выполнения) и сравнение с другими алгоритмами для решения той же задачи. 10. Наличие истории выполнения. ©Павловская Т. А. (СПб НИУ ИТМО) 23