Алгоритмизация Подготовка к ЕГЭ 2008 -2009 год

Алгоритмизация Подготовка к ЕГЭ 2008 -2009 год

Анализ 2007 год • Анализ и исполнение алгоритма, записанного в виде блок-схемы - 80% • Запись фрагмента алгоритма для исполнителя с фиксированным набором команд – 80 % • Использование переменных - 78% • Работа с массивами – 64% • Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя – 64% • Анализ дерева игры – 36% • Часть С -28%

А 5 Оператор присваивания в языке программирования (базовый уровень, время – 2 мин) Что нужно знать: • переменная – это величина, которая имеет имя, тип и значение; переменная может изменяться во время выполнения программы; • оператор присваивания служит для записи значения в переменную; • если в переменную записывают новое значение, старое стирается; • знаки +, -, *, / используются для обозначения операций сложения, вычитания, умножения и деления; • запись вида a div b означает результат целочисленного деления a на b (остаток отбрасывается); • запись вида a mod b означает остаток от деления a на b; • запись вида a : = b + 2*c + 3; означает «вычислить значения выражения справа от знака присваивания : = и записать результат в переменную a» ; при этом значения других переменных (кроме a) не изменяются.

mod и div 23: 5=4(ост 3) 23 5 20 4 3 mod 23 mod 5 = 3 23 div 5 = 4 div

А 5 Определите значение переменной c после выполнения следующего фрагмента программы. Бейсик Паскаль Алгоритмический a=5 a=a+6 b=–a c=a– 2*b a: =5; a: =a+6; b: = –a; c: =a– 2*b; a: =5 a: =a+6 b: = –a c: =a– 2*b 1) с = -11 2)с = 15 3) с = 27 Решение: а = 5 a = 5 + 6 = 11 b = - 11 с = 11 – 2*(-11) = 33. Ответ 4 4) с = 33

Возможные ловушки и проблемы: • Можно перепутать нужную переменную, и, увидев в ответах число – 11, выбрать его (поскольку b = – 11); • нельзя забывать про знак переменных и про то, что «минус на минус дает плюс»

А 6 Работа с массивами и матрицами в языке программирования (повышенный уровень, время – 4 мин) • работу цикла for (цикла с переменной); • массив – это пронумерованный набор однотипных элементов, имеющих общее имя; • для обращения к элементу массива используют квадратные скобки, запись A[i] обозначает элемент массива A с номером (индексом) i; • матрица (двухмерный массив) – это прямоугольная таблица однотипных элементов; • если матрица имеет имя A, то обращение A[i, k] обозначает элемент, расположенный на пересечении строки i и столбца k; • элементы, у которых номера строки и столбца совпадают, расположены на главной диагонали; • выше главной диагонали расположены элементы, у которых номер строки меньше номера столбца; • ниже главной диагонали расположены элементы, у которых номер строки больше номера столбца;

А 6 Дан фрагмент программы, обрабатывающей двумерный массив A размера n×n Бейсик Паскаль Алгоритмический k=1 FOR i = 1 TO n c = A(i, i) = A(k, i) = c NEXT i k: =1; for i: =1 to n do begin c: =A[i, i]; A[i, i]: =A[k, i]; A[k, i]: =c end k: =1 нц для i от 1 до n c: =A[i, i]: =A[k, i]: =c кц Представим массив в виде квадратной таблицы, в которой для элемента массива A[i, j] величина i является номером строки, а величина j –номером столбца, в котором расположен элемент. Тогда данный алгоритм меняет местами 1) два столбца в таблице 2) две строки в таблице 3) элементы диагонали и k-ой строки таблицы 4) элементы диагонали и k-го столбца таблицы

Решение • c = A(i, i) с присваиваются элементы диагонали. • A(i, i) = A(k, i) вместо элементов диагонали ставят элементы k-ой строки таблицы • A(k, i) = c вместо элементов k-ой строки таблицы ставят элементы диагонали. Ответ 3

Возможные ловушки и проблемы: • сложность этой задачи в том, что все действия нужно «прокручивать в уме» (или на бумаге), не используя компьютер для отладки • главная проблема – не перепутать столбцы и строки; номер строки – это (по соглашению) первый индекс элемента матрицы, а номер столбца – второй

Совет: • чтобы понять, что делает программа, часто бывает полезно сделать ручную прокрутку на матрице небольшого размера, например, 3 на 3 или 4 на 4. • если матрица небольшая (скажем, 5 на 5) можно (а иногда и нужно) вообще сделать все вычисления вручную и посмотреть, что получится

Анализ алгоритма построения последовательности (А 12, В 8) Что нужно знать: • в некоторых задачах (на RLE-кодирование) нужно знать, что такое бит и байт, что байт равен 8 бит, что такое старший бит, как переводить числа из двоичной системы в десятичную • в классических задачах (на символьные цепочки) каких-либо особых знаний из курса информатики, кроме умения логически мыслить, не требуется

A 12 Анализ алгоритма построения последовательности (базовый уровень, время – 2 мин) Цепочка из трех бусин, помеченных латинскими буквами, формируется по следующему правилу. В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C. На первом месте – одна из бусин B, D, C, которой нет на третьем месте. В середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу? 1) CBB 2) EAC 3) BCD 4) BCB

Решение: В конце цепочки стоит одна из бусин A, B, C, значит подходить могут варианты: 1) CBB, 2) EAC, 4) BCB. Так как на первом месте – одна из бусин B, D, C которой нет на третьем месте, то остаётся только вариант: 1) CBB. Этот вариант подходит для варианта, в середине – одна из бусин А, C, E, B, не стоящая на первом месте. Ответ 1.

B 8 Анализ алгоритма построения последовательности. (повышенный уровень, время – 10 мин) Строки (цепочки символов латинских букв) создаются по следующему правилу. Первая строка состоит из одного символа – латинской буквы «А» . Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: в очередную строку сначала записывается буква, чей порядковый номер в алфавите соответствует номеру строки (на i-м шаге пишется «i» -я буква алфавита), к ней справа дважды подряд приписывается предыдущая строка. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу: (1) A (2) BAA (3) CBAABAA (4) DCBAABAA Латинский алфавит (для справки): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Запишите семь символов подряд, стоящие в восьмой строке со 126 -го по 132 -е место (считая слева направо).

Решение 1: Будем записывать по правилам условия. (5) E DCBAABAACBAABAA (6) FEDCBAABAACBAABAAEDCBAABAACBA ABAADCBAABAA (7) GFEDCBAABAACBAABAAEDCBAABAACBAA BAADCBAABAAFEDCBAABAADCBAABAAC BAABAAEDCBAABAACBAABAA (8) HGFEDCBAABAACBAABAAEDCBAABAACBA ABAADCBAABAAFEDCBAABAADCBAABAAEDCBAABAACBAABAAGFEDCB AABAACBAABAADCBAABAAEDCBAABAAD CBAABAAFEDCBAABAADCBAABAACBAAB AAEDCBAABAACBAABAA Записать ответ BAAGFED.

Решение 2 1. используя приведенное правило, можно построить следующие строки: (5) EDCBAABAACBAABAA (6) EDCBAABAACBAABAAEDCBAABAA. . . 2. мы быстро убедимся, что следующие строки получаются достаточно длинные, и легко запутаться, отсчитывая символы с номерами 126 -132 восьмой строке 3. попробуем найти закономерности, позволяющие решить задачу без выписывания 8 -ой строки; 4. прежде всего, заметим, что длины первых строк 1, 3, 7, 15, … – это числа вида 2 i-1, где i – номер строки; таким образом, длина 7 -ой строки – 127, а длина восьмой – 255 символов 5. восьмая строка строится так: восьмая буква латинского алфавита (H) и затем – два раза седьмая строка (сверху написаны номера символов) 1 2 H GFEDC… … 128 AABAA… 129 GFEDC. . . … 255 …AABAA

Решение 2 (продолжение) 6. 126 -132 находятся на границе двух цепочек, повторяющих 7 -ую строку; заметим, что в соответствии с заданным алгоритмом можно легко определить первые символы в 7 -ой строке (GFEDC) и последние символы (AABAA) 7. далее сразу находим, что интересующая нас часть 8 -ой строки имеет вид 125 126 127 128 129 130 131 132 133 A B A A G F E D C 8. таким образом, правильный ответ – BAAGFED

Возможные ловушки и проблемы 1. можно, конечно, попробовать выписать заданную строку и выделить нужные символы, но этот подход очень трудоемкий и чреват случайными ошибками 2. чаще всего заданная цепочка находится на границе, где соединяются две части строки (например, в этом задании – на границе двух последовательностей, совпадающих с 7 -ой строкой) 3. в задачах этого типа часто встречается игра на последовательностях вида 2 k: 1, 2, 4, 8, 16, … 2 k-1: 1, 3, 7, 15, 31, … полезно помнить формулу, которая «сворачивает» сумму степеней двойки: 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2 k = 2 k+1 - 1 (для доказательства используйте тот факт, что двоичное число, состоящее только из единиц, имеет вид 2 n-1)

Важное замечание Практически во всех заданиях на использование алгоритмов можно избежать большого объема рутинной работы, выявив закономерность, реализуемую алгоритмом

А 18 Выполнение алгоритмов для исполнителя (базовый уровень, время – 2 мин) Что нужно знать: • правила выполнения линейных, разветвляющихся и циклических алгоритмов • основные операции с символьными строками (определение длины, выделение подстроки, удаление и вставка символов, «сцепка» двух строк в одну) • исполнитель – это человек, группа людей, животное, машина или другой объект, который может понимать и выполнять некоторые команды • в школьном алгоритмическом языке нц обозначает «начало цикла» , а кц – «конец цикла» ; все команды между нц и кц – это тело цикла, они выполняются несколько раз • запись нц для i от 1 до n обозначает начало цикла, в котором переменная i (она называется переменной цикла) принимает последовательно все значения от 1 до n с шагом 1

Главное Прежде всего требуется уяснить систему команд исполнителя алгоритма, т. е. как записывается каждая команда, что означают ее параметры (если они есть) и каков должен быть результат ее исполнения.

А 18 Выполнение алгоритмов для исполнителя (базовый уровень, время – 2 мин) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 0

Решение 1: Проверять будем по схеме. 1)A 6 – останется на месте. 2)B 6 ->B 5 ->B 4 – СТОП. 3) C 6 -> C 4 -> A 5 -> E 5. 4) D 6 -> D 3 -> A 3 -> A 5 -> E 5. 5) E 6 -> E 2. 6) F 6 -> F 1 -> B 1. 7) A 5 -> A 1. 8) B 5 -> A 5 -> E 5. 9) C 5 - > C 4 -> A 4 ->A 5 -> E 5. 10) D 5 -> D 3 -> A 5 -> E 5. 11) E 5 -> E 2. Аналогично проверяются остальные циклы. Подойдёт только F 4 -> F 1 -> B 1 -> B 4 -> F 4. Ответ 1 7 6 4 3 2 1 A B C D E F

Решение 2 1. легко понять, что для того, чтобы исполнитель вернулся обратно в ту клетку, откуда он начал движения, четыре стенки должны быть расставлены так, чтобы он упирался в них сначала при движении вниз, затем – влево, вверх и, наконец, вправо: 2. на рисунке красная точка обозначает клетку, начав с которой РОБОТ вернется обратно; 3. кроме этих четырех стенок, необходимо, чтобы коридор, выделенный на рисунке справа зеленым фоном, был свободен для прохода 4. итак, мы выяснили, что нужно рассматривать лишь те клетки, где есть стенка справа; отметим на исходной карте клетки-кандидаты:

Решение 2 4. этих «подозрительных» клеток не так много, но можно еще сократить количество рассматриваемых вариантов: если РОБОТ начинает движение с любой клетки на вертикали F, он все равно приходит в клетку F 4, которая удовлетворяет заданному условию, таким образом, одну клетку мы нашли, а остальные клетки вертикали F условию не удовлетворяют:

Решение 2 5. проверяем оставшиеся три клетки-кандидаты, но для них всех после выполнения алгоритма РОБОТ не приходит в ту клетку, откуда он стартовал: 6. итак, условию удовлетворяет только одна клетка – F 4 7. таким образом, правильный ответ – 1.

Возможные ловушки и проблемы: § вариантов может быть достаточно много, важно не пропустить ни один из них § можно попытаться выполнить алгоритм для каждой клетки лабиринта, но это займет много времени; поэтому лучше ограничиться только клетками-кандидатами § нужно правильно определить свойства, по которым клетку можно считать «кандидатом» § можно не заметить стенку и таким образом получить лишнее решение

А 18 Выполнение алгоритмов для исполнителя (базовый уровень, время – 2 мин) В приведенном ниже фрагменте алгоритма, записанном на алгоритмическом языке, переменные a, b, c имеют тип «строка» , а переменные i, k – тип «целое» . Используются следующие функции: Длина(a) – возвращает количество символов в строке a. (Тип «целое» ) Извлечь(a, i) – возвращает i-тый (слева) символ в строке a. (Тип «строка» ) Склеить(a, b) – возвращает строку, в которой записаны сначала все символы строки a, а затем все символы строки b. (Тип «строка» ) Значения строк записываются в одинарных кавычках (Например, a: ='дом'). Фрагмент алгоритма: i : = Длина(a) k : = 2 b : = 'А' пока i > 0 нц c : = Извлечь(a, i) b : = Склеить(b, c) i : = i – k кц b : = Склеить(b, 'Т') Какое значение будет у переменной b после выполнения вышеприведенного фрагмента алгоритма, если значение переменной a было ‘ПОЕЗД’? 1) ‘АДЕПТ’ 2) ‘АДЗЕОП’ 3) ‘АДТЕТПТ’ 4) ‘АДЗОТ’

Решение А: =Поезд i : = 5 k : = 2 b : = 'А' пока i > 0 нц c : = Извлечь(a, i) b : = Склеить(b, c) i : = i – k кц b : = Склеить(b, 'Т') 5>0 3>0 Д E АД АДЕ 5 -2=3 1) ‘АДЕПТ’

В 2 Блок-схемы алгоритмов. Переменные, присваивание значений. Ветвления. Организация циклов с помощью блока «ветвление» (базовый уровень, время – 1 мин). то нужно знать: Ч 1. переменная – это величина, которая имеет имя, тип и значение; переменная может изменяться во время выполнения программы 2. оператор присваивания (в Паскале обозначается сочетанием символов «: =» ) служит для записи нового значения в переменную (для изменения ее значения) 3. если в переменную записывают новое значение, старое стирается 4. знаки +, -, *, / используются для обозначения операций сложения, вычитания, умножения и деления 5. запись вида a : = a + 2; – это не уравнение, а команда «прочитать текущее значение переменной a, добавить к нему 2 и записать результат обратно в переменную a» ; 6. для наглядной записи небольших алгоритмов используют блок-схемы; они состоят из блоков разного назначения и соединительных линий со стрелками, которые показывают порядок выполнения блоков 7. в задачах ЕГЭ встречаются два блока: процесс (выполнение некоторых действий) и ветвление (условие, в зависимости от которого выполнение алгоритма продолжается по одной или другой «ветке» ) 8. с помощью ветвления можно организовать цикл (многократное выполнение одинаковых действий), в этом случае в блок-схеме будет соединительная линия, идущая «в обратном направлении» (петля, замкнутый контур)

В 2 Запишите значение переменной b после выполнения фрагмента алгоритма: a b 0 1 1 1 2 3 2 4 7 3 8 15 4 16 31 5 32 63 6 7 8 64 128 256 127 255 511

Возможные проблемы: § таблица получается длинной, много вычислений, можно запутаться § нужно не забыть, что при выполнении двух операторов в теле цикла к значению b добавляется уже новое значение a, полученное в предыдущей строке § не перепутайте переменную, значение которой нужно определить (можно по ошибке вписать в ответ полученное значение a)

Решение (вариант 2, анализ алгоритма): • «прокрутив» начало алгоритма, можно заметить, что последовательные значения a – это степени двойки a = 1, 2, 4, 8, … 256 • поскольку оператор b: =b+a означает «взять текущее значение b, прибавить к нему текущее значение a и результат записать обратно в b» , изменение b сводится к тому, что эти степени двойки складываются: b = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 256 • теперь можно, конечно, сложить эти числа вручную (их всего 9), но можно заметить (или вспомнить), что сумма всех последовательных степеней двойки, начиная с 1, на единицу меньше, чем следующая степень двойки (первая, не вошедшая в сумму, здесь – 512); это легко проверяется по начальной части таблицы • таким образом, верный ответ 512 – 1 = 511

Возможные проблемы: § для такого анализа требуется некоторое напряжение ума, здесь не обойтись формальным выполнением каких-то заученных действий § не всегда удается найти короткое решение, «свернув» алгоритм таким образом (в этом случае поможет ручная прокрутка)

В 5 Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя (повышенный уровень, время – 10 мин) Что нужно знать: • каких-либо особых знаний из курса информатики не требуется, задача решаема на уровне 6 -7 класса простым перебором вариантов, просто его нужно организовать оптимальным образом • исполнитель – это человек, группа людей, животное, машина или другой объект, который может понимать и выполнять некоторые команды

В 5 Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя (повышенный уровень, время – 10 мин) У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 3 2. умножь на 4 Выполняя первую из них, Калькулятор прибавляет к числу на экране 3, а выполняя вторую, умножает его на 4. Запишите порядок команд в программе получения из числа 3 числа 57, содержащей не более 6 команд, указывая лишь номера команд. (Например, программа 21211 это программа умножь на 4 прибавь 3 которая преобразует число 2 в 50. )

Решение ( «обратный ход» ): 1. нам нужно увеличить число (с 3 до 57), для этого в большинстве случаев умножение эффективнее сложения, поэтому нужно постараться максимально использовать умножение, а сложение – только в крайних случаях 2. попробуем решить задачу «обратным ходом» , начав с числа 57; 3. очевидно, что последней командой не может быть умножение на 4 (57 на 4 не делится), поэтому последняя команда – сложение (прибавь 3), над стрелкой записан номер команды: 4. число 54 также не делится на 4, поэтому предыдущая команда – тоже сложение: 5. аналогично для числа 51: 6. число 48 делится на 4, поэтому используем умножение: 7. наконец, добавив в начало программы еще одно умножение, получаем полную цепочку: 8. таким образом, правильный ответ – 22111, эта программа состоит из 5 команд.

Возможные ловушки и проблемы: Иногда может потребоваться «откат» назад, например, если исходное число – 6, то применив деление на 4 для 12 мы «проскакиваем» его (получаем 12/4=3<6), поэтому нужно возвращаться обратно к 12 и дважды применять сложение; в этом случае ответ будет такой:

Почему здесь «обратный ход» лучше? : • обратим внимание, что когда мы «шли» в обратном направлении, от конечного числа к начальному, часто очередную операцию удавалось определить однозначно (когда число не делилось на 4) • это связано с тем, что среди допустимых команд есть «не всегда обратимая» операция – умножение: умножить целое число на 4 можно всегда, а разделить нацело – нет; в подобных случаях результат быстрее получается именно «обратным ходом» , во время которого сразу отбрасываются невозможные варианты

В 5 Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя (повышенный уровень, время – 10 мин) Два игрока играют в следующую игру. Имеются три кучки камней, содержащих соответственно 2, 3, 4 камня. За один ход разрешается или удвоить количество камней в какой нибудь кучке, или добавить по два камня в каждую из трех куч. Предполагается, что у каждого игрока имеется неограниченный запас камней. Выигрывает тот игрок, после чьего хода в какойнибудь кучке становиться >=15 камней или во всех трех кучках суммарно становиться >=25 камней. Игроки ходят по очереди. Выясните, кто выигрывает при правильной игре, -первый или второй игрок.

Решение 0 1 2 3 (анализ) 8, 3, 4 4, 6, 4 Проигрыш 1 -го игрока 4, 3, 8 6, 5, 6 4, 6, 4 2, 3, 4 2, 6, 4 Проигрыш 1 -го игрока 2, 12, 4 2, 6, 8 4, 8, 6 2, 3, 8 Проигрыш 1 -го игрока 8, 5, 6 4, 5, 6 2, 3, 16 Выигрыш 1 -го игрока 4, 10, 6 Выигрыш 1 -го игрока 4, 5, 12 Выигрыш 1 -го игрока 6, 7, 8 Выигрыш 1 -го игрока