Алгебраические структуры Тема 3 Понятие алгебраической структуры

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Алгебраические структуры Тема 3

Понятие алгебраической структуры Алгебраическая структура (алгебра) <M, Σ> – множество M, в котором задана одна или несколько операций: удовлетворяющих аксиомам, характеризующим данную структуру. Здесь Σ – сигнатура, ni - арность i-ой операции {ni} – тип алгебры В многоосновной алгебре М – множество множеств. Алгебра называется моделью, если среди операций м. б. и функции, и отношения. Основные алгебры: o Алгебры с одной операцией n n n o Моноиды Полугруппы Группы Алгебры с двумя операциями n n Кольца Поля

Алгебры и подалгебры X замкнуто относительно операции φi, если Если X замкнуто относительно всех φi Σ, то <X, ΣX> называется подалгеброй для <M, Σ>. Здесь ΣX={φi. X}, φi. X= φi|Xk, k=ni Примеры: o Поле вещественных чисел < ; {+, *}> имеет подалгебру <Q; {+, *}> – поле рациональных чисел o Алгебра подмножеств над множеством M <2 M; { , , }> имеет подалгебру <2 X; { , , }>, если X M o Подалгеброй алгебры <{f | f: }; {d/dx}> является множество элементарных функций. Теорема: непустое пересечение подалгебр является подалгеброй.

Замыкания Замыканием множества X M относительно сигнатуры Σ называется множество всех элементов [X]Σ, которые можно получить из X, применяя операции сигнатуры. Пример: Для алгебры целых чисел <Z; {+, *}> замыканием числа 2 [{2}] являются четные числа. Свойства замыкания:

Алгебра термов Для заданной сигнатуры Σ =(φ1, …, φm) типа N=(n 1, …, nm) и множества переменных V=(v 1, …, vn) можно определить множество термов Т в сигнатуре Σ : 1. V T 2. Алгебра <T, Σ> называется свободной алгеброй термов или Σалгеброй. Σ-алгебры используются в программировании для определения абстрактных типов данных.

Система образующих (базис) Множество M’ M называется системой образующих алгебры <M, Σ>, если [M’]Σ=M. Это алфавит алгебры. Алгебра с конечной системой образующих называется конечно-порожденной. Пример: Алгебра натуральных чисел <N, +> имеет конечную систему образующих 1 N

Свойства операций Пусть для <M, Σ> заданы операции , Σ и элементы a, b, c M. Ассоциативность: Коммутативность: Дистрибутивность слева: Дистрибутивность справа: Поглощение: Идемпотентность: Примеры: Сложение и умножение – ассоциативны и коммутативны, но неидемпотентно. Вычитание, деление – не ассоциативны и не коммутативны. Идемпотентны объединение и пересечение. Умножение дистрибутивно относительно сложения. Пересечение поглощает объединение и наоборот.

Полугруппы Полугруппа – алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией. У циклической полугруппы система образующих состоит из одного элемента. Свободная полугруппа не предполагает наличие определяющих соотношений, позволяющих выявить равенство слов, по-разному составленных из алфавита: все слова считаются различными. Примеры: o множество слов в алфавите языка относительно конкатенации o множество функций относительно суперпозиции o <N, +> – циклическая и свободная полугруппа Теорема Маркова-Поста: Существует полугруппа, в которой проблема распознавания равенства слов алгоритмически неразрешима.

Моноиды Моноид – полугруппа с единицей: Единица единственна. Примеры: o Множество слов в алфавите относительно конкатенации: единица – пустое слово. o Алгебра термов является моноидом относительно операции подстановки ti //vi, означающей замену всех вхождений некоторой переменной vi термом ti, если за единицу принять тождественную подстановку vi //vi

Группы Группа – это моноид с обратным элементом: Обратный элемент единственен. Примеры: o Множество невырожденных квадратных матриц одного порядка относительно умножения. Единица – единичная матрица, обратный элемент – обратная матрица. o Множество взаимно однозначных функций на одном множестве относительно операции суперпозиции. Единица – тождественная функция, обратный элемент – обратная функция.

Соотношения, выполняемые в группе

Абелева группа Коммутативная группа называется абелевой. В абелевой группе приняты следующие обозначения: o + или – групповая операция o обратный к a элемент: –a o единица группы – нуль, 0 Примеры: o <Z, +> o <Q+, *> o <2 M, >

Кольца Кольцо – множество с двумя операциями и в котором: o сложение n n o ассоциативно имеет нуль (аддитивную единицу) имеет обратный элемент коммутативно умножение n n ассоциативно и дистрибутивно слева и справа Коммутативное кольцо – кольцо с коммутативным умножением, имеющим единицу (мультипликативную). Примеры: <Z, +, *>, <Zn, +, *>

Соотношения, выполняемые в кольце Области целостности Если в кольце существуют ненулевые x и y, для которых x y=0, то x и y – левый и правый делители нуля. Коммутативное кольцо с единицей, не имеющее делителей нуля, называется областью целостности. Пример: обычная арифметика является областью целостности, а машинная – нет (256*128 в машинной арифметике дает 0)

Поля Поле – множество с двумя операциями, являющееся абелевой группой по каждой из них (т. е, и сложение, и умножение ассоциативны и коммутативны, имеют обратный элемент и нуль/единицу) Примеры: o <R, +, *> или <Q, +, *> o Двоичная арифметика над множеством {0, 1}

Векторные пространства Абелева группа <V, +> называется векторным пространством над полем <F, +, *>, если существует операция F V V, для которой для любых скаляров a, b F и векторов x, y V выполняются соотношения: Примеры: o Множество арифметических векторов над полем <R, +, *> o Множество геометрических векторов над полем <R, +, *> o Множество матриц одной размерности над полем <R, +, *>

Основные определения векторных пространств o Линейная комбинация векторов: o Вектора линейно независимы, если любая нетривиальная их линейная комбинация даёт ненулевой вектор. Базис векторного пространства – конечное линейно независимое порождающее подмножество векторов. o Мощность базиса называется размерностью линейного пространства. o Любой вектор пространства имеет единственное разложение по базису – набор скалярных коэффициентов в линейной комбинации векторов базиса, дающей раскладываемый вектор. o

Решетка – множество с двумя идемпотентными, коммутативными, ассоциативными, поглощающими друга бинарными операциями и : Решетка дистрибутивная, если и дистрибутивны друг относительно друга. Ограниченная решетка имеет нижнюю и верхнюю грань (0 и 1). Если грани существуют, то они единственны. 0 называется нижней гранью, если 1 называется верхней гранью, если Решетка с дополнением имеет единственное инволютивное дополнение a’ к каждому элементу a: Булева алгебра – дистрибутивная ограниченная решетка с дополнением.

Матроиды Матроидом называется множество E и семейство его подмножеств ε 2 E, если выполняются следующие аксиомы: Пример: семейство линейно независимых векторов любого векторного пространства.

Жадный алгоритм Пусть дано множеств, E, семейство его подмножеств ε 2 E и весовая функция w: E R+ Требуется выбрать X E с наибольшим суммарным весом. Жадный алгоритм: 1. Упорядочить элементы по убыванию веса 2. Выбрать первые n элементов Алгоритм выполняется за линейное время, но не всегда дает оптимальное решение. Теорема: жадный алгоритм даст оптимальное решение для любой весовой функции, если <E, ε> является матроидом

Скачать презентацию Алгебраические структуры Тема 3 Понятие алгебраической структуры

Алгебраические структуры.ppt

Количество слайдов: 20