АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Доцент Мартынова Т. А. 4 с. , 2010 -11 учебный год
ГЛАВА II. КОЛЬЦА Доцент Мартынова Т. А. ЛЕКЦИЯ 14
ГЛАВА II. КОЛЬЦА n n n n Основной задачей главы является рассмотрение понятий: кольцо и поле; изоморфизм колец и полей; подкольцо и подполе; поле частных; характеристика колец и полей; делимость в коммутативном кольце; идеалы и операции над ними; кольца главных идеалов; евклидовы кольца; сравнения по идеалам и фактор-кольца; гомоморфизмы колец; факториальные кольца многочленов.
§ 13. Факториальные кольца многочленов n n Напомним, что целостное кольцо называется факториальным, если любой его необратимый ненулевой элемент обладает однозначным разложением в произведение простых элементов. В частности, любое поле является факториальным кольцом. Мы доказали ранее, что к числу факториальных колец относятся все кольца главных идеалов, в частности, все евклидовы кольца (в том числе, кольцо Z целых чисел и кольцо многочленов P[x] над полем P ).
§ 13. Факториальные кольца многочленов n n n В дальнейшем мы покажем, что кольцо K[x 1, x 2, …, xn] многочленов от n переменных над коммутативным унитарным кольцом K при n 2 не является кольцом главных идеалов и тем более евклидовым кольцом, даже если K – поле. В то же время окажется, что если K – факториальное кольцо, то и кольцо K[x 1, x 2, …, xn] будет факториальным. Доказательство этого факта и является основной целью этого параграфа. Прежде чем доказывать этот важный факт теории многочленов, отметим некоторые свойства делимости в факториальных кольцах.
1. Свойства делимости в факториальных кольцах n Прежде всего условимся проводить рассуждения с точностью до обратимых элементов кольца, в частности, отождествлять ассоциированные простые элементы. n 1º. Элемент a факториального кольца K делится на элемент b этого же кольца тогда и только тогда, когда все простые элементы из разложения элемента b входят в разложение a. n ◘ Если a b, то a = bq. Отсюда в силу однозначности разложений a и b на простые сомножители следует, что все простые элементы из разложения b входят в разложение а. n Обратно, если b = p 1 p 2…pk и все простые сомножители p 1, p 2, …, pk входят в разложение элемента а, то n a = p 1 p 2… pk q = bq, т. е. a b. ◙ n Очевидно следующее свойство. n 2º. Элементы a и b факториального кольца K взаимно просты тогда и только тогда, когда в их разложениях нет общих простых элементов. ◘
3º. Для любых не делимости впростых элементов a и b из 1. Свойства взаимно факториальных кольцах факториального кольца K существует их НОД и НОК, определяемые с точностью до обратимых множителей. При этом, если кториального кольца K делится на элемент b a = p 2… p q 1 q …qm , тогда и только тогда, 1 pкогдаk все 2 простые b = p 1 p 2… pk r 1 r 2…rn - разложения элементов a и b в произведение простых элементов, ложения элемента b входят в разложение a. причем элементы q 1 q 2…qm и r 1 r 2…rn взаимно просты, то НОД(a, b) = p 1 p 2… pk, НОК(a, b) = p 1 p 2… pk q 1 q 2…qm r 1 r 2…rn. n ◘ Докажем, например, первое из этих утверждений. То, что элемент d = p 1 p 2… pk является общим делителем элементов a и b, очевидно. Пусть d – любой общий делитель элементов a и b. Из св-ва 1º следует, что d не может иметь в своем разложении других простых элементов, кроме элементов p 1, p 2, …, pk. Но тогда по тому же свойству 1º d d. Это означает, что d = p 1 p 2…pk = НОД(a, b). n Аналогично доказывается и второе утверждение свойства 3º. ◙ n n n
1º. 1. Свойства факториального кольца K делится на элемент b Элемент a делимости в факториальных кольцах этого же кольца тогда и только тогда, когда все простые элементы из разложения элемента b входят в разложение a. 4º. Пусть d - общий делитель элементов a и b факториального кольца K и a 1 = a/d и b 1 = b/d. Тогда элементы a 1 и b 1 взаимно просты тогда и только тогда, когда НОД(a, b) = d. n ◘ Вытекает из свойств 2º и 3º. ◙ n 5. Если в факториальном кольце K произведение ab элементов a и b делится на элемент c и а взаимно прост с элементом c, то b Элементы 2º. делится на c. a и b 3º. a = p 1 p 2… pk q 1 q 2…qm , факториального кольца K n ◘ По свойству 1º взаимно просты тогда и b = p 1 p 2… pk r 1 r 2…rn n все простые только тогда, когдаделители элемента с являются … p , в их НОД(a, b) = p 1 p 2 делителями k разложениях нет общих элемента ab. простых элементов. ◘ n Но в разложение элемента а в силу взаимной простоты a и c, ни один из них не входит. Значит, все они входят в разложении b и тогда на основании свойства 1º b c. ◙
1. Свойства делимости в факториальных кольцах n 6. В факториальном кольце K для любого элемента а и простого элемента р либо а делится на р, либо а взаимно прост с р. n n ◘ В самом деле, если простой элемент p входит в разложение элемента а , то а p; в противном случае, элементы а и р взаимно просты. ◙
n 6. В n 5. Если в факториальном любого K произведение ab факториальном кольце K для кольце простого 1. Свойстварделимости в факториальных кольцах элемента и всякого элемента а элементов a и b делится на элемент c и а взаимно прост либо а делится на р, либо а взаимно прост с р. n 7. Произведение b делится на c. с элементом c, то двух или нескольких элементов факториального кольца K делится на простой элемент р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на р. (Рассмотрим сначала случай двух сомножителей. Пусть ab p. n Если а p, то доказывать нечего. n В противном случае согласно свойству 6 n элементы a и p кольца K взаимно простые и n тогда по свойству 5 n получим, что b p. n Обратное утверждение очевидно. n С помощью индукции легко обосновывается случай любого конечного числа сомножителей. ) n ◘ Доказывается по аналогии со свойством 5 из § 9 для колец главных идеалов. ◙
1º. Элемент a факториального кольца взаимно на элемент b 2º. Элементы a и b факториального факториальных кольцахтогда и 1. Свойства делимости в кольца K K делитсяпросты этого же в их разложениях нет общих простых элементов. ◘ только тогда, когда кольца тогда и только тогда, когда все простые n 8. элементы из разложения элемента b входят в разложение a. Если в факториальном кольце K элемент а делится на каждый из взаимно простых между собой элементов b и с, то а делится и на их произведение bс. n n n ◘ В самом деле, по свойству 10 все простые множители элементов b и c входят в разложение а. Кроме того, в силу взаимной простоты b и c разложения b и c по свойству 20 не имеют одинаковых простых элементов. Значит, все простые делители bc входят в a и по св. 10 a bc. ◙ n 9. Если в факториальном кольце K элемент а взаимно просто с каждым из элементов b и с, то а взаимно прост и с произведением bc. n ◘ Поскольку b и c не имеют общих с а простых делителей, то bc не имеет с а общих простых делителей и, сл-но, по св. 20 НОД(a, bс) =1. ◙
1. Свойства делимости в факториальных кольцах n n n Заметим, что некоторые свойства делимости кольца главных идеалов не имеют места в факториальном кольце. Так в кольце многочленов P[х, y], где P – поле, элементы x и y являются различными простыми и, следовательно, НОД(x, y) = 1. Однако, представления вида n 1 = x·u(x, y)+y·v(x, y), где u(x, y), (x, y) P[х, y] не существует, так как свободный член многочлена в правой части равен 0. Ниже мы покажем, что P[х, y] – факториальное кольцо.
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n Ранее отмечалось, что если P – поле, то кольцо P[x] многочленов от одной переменной является евклидовым, а потому кольцом главных идеалов и, следовательно, факториальным. Однако справедлив следующий n. Факт. Кольцо многочленов P[x 1, x 2, …, xn] над полем P при n >1 не является не только евклидовым кольцом, но даже кольцом главных идеалов. n n n ◘ Действительно, подмножество J 0 многочленов с нулевыми свободными членами есть идеал в кольце P[x 1, x 2, …, xn]. Покажем, что этот идеал не является главным. Предположим противное, пусть J 0 - главный идеал, порожденный некоторым многочленом f, т. е. (f) = J 0. Тогда все многочлены из J 0, в частности, многочлены x 1, x 2, …, xn должны делиться на f. Последнее возможно лишь в том случае, когда f D 1=P{0}, что противоречиво. ◙
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n n Так как P[x 1, x 2, …, xn] не является кольцом главных идеалов, а тем более евклидовым кольцом, то на такое кольцо распространяются не все свойства делимости, знакомые нам по кольцам Z и P[x]. В частности, в кольце P[x 1, x 2, …, xn] при n >1 не имеет место теорема о делении с остатком. Как уже отмечалось, основная задача этого параграфа доказать, что если K – факториальное кольцо, то кольцо K[x 1, x 2, …, xn] при любом натуральном n факториально. Это будет означать, что для кольца K[x 1, x 2, …, xn] справедливы все доказанные выше свойства делимости факториальных колец.
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n n n Пусть K – факториальное кольцо. Также как и для многочленов с целыми коэффициентами, содержанием ненулевого многочлена f(x) кольца K[x] назовем НОД его коэффициентов. Многочлен f(x) называется примитивным, если его коэффициенты взаимно просты в совокупности. Понятно, что каждый многочлен f(x) из K[x] однозначно представим в виде f(x) = d f 1(x), где d – содержание f(x), а f 1(x) – примитивный многочлен, причем это представление единственно.
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n n В факториальном K справедлива так же лемма Гаусса о примитивных многочленах: произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом. Наконец, по аналогии с кольцом Z и его полем частных Q можно доказать, что если P – поле частных для K , то многочлен f(x) из K[x] приводим над полем P тогда и только тогда, когда он приводим над кольцом K.
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n. Т е о р е м а 1. Если K – факториальное кольцо, то любой примитивный многочлен f(x) из кольца K[x] представим в виде произведения примитивных неприводимых над кольцом K многочленов. Это представление единственно с точностью до обратимых в K сомножителей. n n n ◘ Пусть P – поле частных для кольца K. Разложимость f(x) на неприводимые в K[x] множители доказывается обычным образом. Таким образом, требуется доказать единственность такого разложения. Пусть n f(x) =p 1(x) p 2(x)… pk(x) = q 1(x)q 2(x)…qm(x) (1) любые два разложения f(x) на неприводимые в K[x] множители.
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n. Т е о р е м а 1. Если K – факториальное кольцо, то любой примитивный многочлен f(x) из кольца K[x] представим в виде произведения примитивных неприводимых над кольцом K многочленов. Это представление единственно с точностью до обратимых в K сомножителей. n n f(x) =p 1(x) p 2(x)… pk(x) = q 1(x)q 2(x)…qm(x) (1) Очевидно, все многочлены, входящие в разложение f(x) из (1) примитивны, так как в противном случае и многочлен f(x) не был бы примитивным. Поскольку каждый многочлен из K[x] приводим над полем частных P тогда и только тогда, когда он приводим над кольцом K , то разложения (1) являются разложениями f(x) на неприводимые в P[x] множители. Но в P[x] такое разложение единственно с точностью до обратимых множителей (т. е. элементов из поля P).
n. Т е о р е м а 1. Если K – факториальное кольцо, то любой примитивный 2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами многочлен f(x) из кольца K[x] представим в виде произведения примитивных n f(x) =p 1(x)… pk(x) = q 1(x)q 2(x)…qm(x) (1) неприводимых над кольцом K многочленов. Это представление единственно с n Значит, в обратимых точностью до(1) k = m и в K сомножителей. (2) n 4. Если в факториальном кольце K произведение ab Остается показать, что элементы ai и bi (i=1, 2, …, m) обратимы в кольце K. элементов a и b делится на элемент c и а взаимно n Обозначим коэффициенты многочлена прост с элементом c, то b делится на c. pi(x) через cij. n Тогда ввиду равенства (2) многочлен qi(x) имеет коэффициенты (cijai)/bi из K. n Так как элементы ai и bi взаимно простые, по свойству 4 n имеем cij bi при всех j. n Но поскольку pi(x) – примитивный многочлен, элемент bi обязан быть делителем единицы кольца K при любом i=1, 2, …, m, т. е. bi D 1. n С другой стороны, в силу примитивности qi(x) при любом i=1, 2, …, m получаем, что ai D 1. n Но тогда, поскольку D 1 – группа, ai /bi = aibi-1 D 1, т. е. ai/bi – обратимый в K элемент при любом i=1, 2, …, m. n Это означает, что оба разложения (1) совпадают с точностью до обратимых в кольце K сомножителей. ◙ n
n. Т Факториальность колец – факториальное кольцо, то е о 2. р е м а 2. Если Kмногочленов над факториальными кольцами кольцо K[x] многочленов также является факториальным кольцом. n n. Т ◘ е. То, р е K[x] – 1. Если Kцелостности, было кольцо, торанее. о что м а любой область – факториальное доказано примитивныйпоказать однозначность разложения на простые многочлен f(x) из кольца K[x] представим в виде Остается произведения примитивных неприводимых над кольцом K многочленов. сомножители. Это представление единственно с точностью до обратимых в K n Очевидно, что простыми (неразложимыми) элементами в K[x] сомножителей. являются либо простые элементы из K, либо примитивные n n n неприводимые многочлены. Каждый многочлен f(x) из K[x] однозначно представим в виде f(x) = cf 1(x), где c – содержание f(x), а f 1(x) – примитивный многочлен. По условию теоремы 2 элемент c единственным образом разложим в произведение простых в K элементов, а многочлен f 1(x), согласно теореме 1, имеет единственное разложение на примитивные неприводимые сомножители. Значит f(x) имеет единственное разложение на простые в K[x] сомножители. Таким образом, K[x] – факториальное кольцо. ◙
n. Т е о р е м а 2. Если K – факториальное кольцо, то кольцо K[x] при многочленов также является факториальным кольцом. 2. Факториальность K многочленов над факториальными кольцами n. Следствие. Есликолец– факториальное кольцо, то любом натуральном n кольцо K[x 1, x 2, …, xn] многочленов от n переменных над K также является факториальным кольцом. n n ◘ Доказательство получается из теоремы 2 индукцией по числу переменных. Действительно, согласно теореме 2 K[x 1] – факториальное кольцо. Предположим, что K[x 1, x 2, …, xn-1] – факториальное кольцо. Так как K[x 1, x 2, …, xn] можно рассматривать как кольцо многочленов от переменной xn с коэффициентами из K[x 1, x 2, …, xn-1], применяя теорему 2 и предположение индукции, получаем, что K[x 1, x 2, …, xn] – тоже факториальное кольцо. ◙
2. Факториальность колец многочленов над факториальными кольцами n Если P - поле, то простыми элементами в кольце P[x 1, x 2, …, xn] являются только неприводимые над полем P многочлены и полученный результат можно сформулировать так: nлюбой многочлен из кольца P[x 1, x 2, …, xn], где P - поле, разложим в произведение неприводимых над полем многочленов, причем это разложение единственно с точностью до множителей нулевой степени. n n n Однозначность разложения многочленов имеет значение и в практике работы учителя. Получив разложение, например, x 2 - xy + 7 xz - 5 yz + 10 z 2 = x 2 - xy + 2 xz + 5 xz - 5 yz + 10 z 2 = n = (x - y + 2 z)·(x + 5 z) учитель должен пресечь все попытки (свои и учащихся) найти другое разложение на неприводимые множители.
Скачать презентацию АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Доцент Мартынова Т. А. 4 с.
ЛЕКЦИЯ 14 ФАКТОРИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ.ppt