АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Доцент Мартынова Т. А. 4 с. , 2010 -11 учебный год
ГЛАВА II. КОЛЬЦА Доцент Мартынова Т. А. ЛЕКЦИЯ 12
ГЛАВА II. КОЛЬЦА n n n n Основной задачей главы является рассмотрение понятий: кольцо и поле; изоморфизм колец и полей; подкольцо и подполе; поле частных; характеристика колец и полей; делимость в коммутативном кольце; идеалы и операции над ними; кольца главных идеалов; евклидовы кольца; сравнения по идеалам и фактор-кольца; гомоморфизмы колец; факториальные кольца многочленов.
§ 9. Кольца главных идеалов n n n Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов 1. Если в кольце K главных идеалов элемент a взаимно просто с каждым из элемент b и c, то a взаимно прост и с произведением bc. ◘ Поскольку элементы a и b кольца K взаимно простые, в силу следствия 1 в K существуют такие элементы u, v, что au + bv = 1. Умножая последнее равенство на с, получим n a(uс) + (bс)v = с. Если d – общий делитель чисел a и bc, то из последнего равенства ввиду свойства 40 делимости (см. § 7) следует, что d – делитель числа с. Учитывая взаимную простоту чисел a и с, отсюда получаем, что d D 1. Но это означает взаимную простоту элементов а и bc. ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n n Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов 2. Если в кольце K главных идеалов произведение ac делится на элемент b и один из сомножителей чисел а или с взаимно прост с элементом b, то другой сомножитель делится на b. ◘ Пусть ac b и элементы a и b кольца K взаимно простые. Тогда согласно следствию 1 имеем представление вида аu + bv = 1. Умножая это равенство на с, получим (aс)u + b(сv) = с. Левая часть последнего равенства ввиду свойства 40 делимости (см. § 7) делится на b и поэтому c b. ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n n Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов 3. Если в кольце K главных идеалов элемент а делится на каждый из взаимно простых между собой элементов b и с, то а делится и на их произведение bс. ◘ Из делимости a на b вытекает существование элемента q такого, что a = bq и, следовательно, bq c, где элементы b и c кольца K взаимно простые. В силу свойства 2 отсюда получаем, что q c, т. е. q = cq’ для некоторого элемента q’ из K. Значит, a = (bc)q’ и, сл-но, a bc. ◙ 4. В кольце K главных идеалов для любого простого элемента р и всякого элемента а либо а делится на р, либо а взаимно прост с р. ◘ Так как р имеет только тривиальные делителя, то либо НОД(а, р) D 1 и тогда а и р взаимно просты, либо НОД(a, р) = рu, где u D 1, и тогда а p. ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n n n Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов 5. Произведение двух или нескольких элементов кольца K главных идеалов делится на простой элемент р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на р. ◘ Рассмотрим сначала случай двух сомножителей. Пусть ab p. Если а p, то доказывать нечего. В противном случае согласно свойству 4 элементы a и p кольца K взаимно простые и тогда по свойству 2 взаимно простых элементов получим, что b p. Обратное утверждение очевидно. С помощью индукции легко обосновывается случай любого конечного числа сомножителей. ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n n n n Т е о р е м а 3. В кольце K главных идеалов строго возрастающая цепочка идеалов не может быть бесконечной. ◘ Пусть (a 1) (a 2) (a 3) … (4) строго возрастающая цепочка идеалов кольца K. Обозначим через I объединение всех идеалов цепочки (4), т. е. I = i (ai). Покажем, что I – идеал кольца K. Пусть x, y I. Тогда существуют индексы k, m, что x (ak), y (am). При k m имеем (ak) (am) и поэтому x, y (am). Но тогда x – y (am), так как (am) – идеал кольца K, и следовательно, x – y I. С другой стороны, для любого элемента k кольца K имеет место xk (am) и поэтому xk I. Таким образом, I – идеал кольца K и при этом главный. Следовательно, в кольце K существует такой элемент с такой, что I = (с). Но тогда существует такой индекс n, что с (an). Отсюда легко следует, что (с) (an), т. е. I (an). С другой стороны, по определению идеала I имеем (an) I. Таким образом, I = (an). Это означает, что идеал (an) является последним в цепочке (4). ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n n Определение 2. Говорят, что элемент a области целостности K обладает однозначным разложением на простые множители, если выполнены условия; 1) элемент a представим в виде a = p 1 p 2…pk, где p 1, p 2, …, pk – простые элементы кольца K; 2) если a = q 1 q 2…qm – другое разложение элемента a в произведение простых множителей q 1, q 2, …, qm, то k = m и при соответствующей перестановке сомножителей p 1 q 1, p 2 q 2, …, pm qm. Определение 3. Целостное кольцо K называется факториальным, если любой его ненулевой необратимый элемент a обладает однозначным разложением на простые множители. Пример 1. Кольцо Z целых чисел является факториальным. Пример 2. Кольцо P[x] многочленов над полем P является факториальным.
§ 9. Кольца главных идеалов n n n n n Напомним, что кольца Z и P[x] являются кольцами главных идеалов. Оказывается, что справедлива Т е о р е м а 4. Любое кольцо главных идеалов является факториальным. n 6. Если K – целостное кольцо и ◘ Существование разложения. Пусть K – кольцо главных идеалов и предположим, что в K существуетнетривиальный делитель a, b – необратимый ненулевой в K элемент который неразложим в произведение простых элементов. элемента a, то (a) (b). Тогда a разложим в произведение a= a 1 b 1, где a 1 и b 1 – нетривиальные делители элемента a, причем, по крайней мере, один из них (пусть это будет, для определенности, a 1) разложимый элемент. По свойству 6 теоремы 3 из § 8 имеем (a) (a 1). Проводя аналогичные рассуждения для элемента a 1, получим строгое включение (a 1) (a 2) и т. д. Получаем бесконечную строго возрастающая цепочка идеалов кольца K: n (a) (a 1) (a 2) (a 3) … , что противоречит теореме 3. Таким образом, элемент a представим в виде произведения простых множителей.
§ 9. Кольца главных идеалов n n Т е о р е м а 4. Любое кольцо главных идеалов является факториальным. ◘ Докажем теперь однозначность представления. нескольких 5. Произведение двух или элементов кольца K главных идеалов Допустим, что имеется два разложения элемента а в произведение на простой m. простых множителей: a=pделится и a=q 1 q 2…qэлемент р тогда и 1 p 2…pk только тогда, когда один из Тогда сомножителей делится на р. p 1 p 2…pk =q 1 q 2…qm. (5) Так как правая часть равенства (5) делится на q 1, то и левая делится на q 1. Согласно свойству 5 взаимно простых элементов один из сомножителей произведения p 1 p 2…pk делится на q 1. Полагая, для определённости, что p 1 q 1, получаем p 1 = q 1 u 1, где u 1 D 1. Отсюда следует, что p 1 q 1. Подставив вместо p 1 в равенство (5) произведение q 1 u 1 и сокращая затем полученное равенство на q 1, получим равенство u 1 p 2 p 3…pk = q 2 q 3…qm. (6)
§ 9. Кольца главных идеалов n Т е о р е м а 4. Любое кольцо главных идеалов является факториальным. n ◘ Докажем теперь однозначность представления. n p 1 p 2…pk =q 1 q 2…qm. u 1 p 2 p 3…pk = q 2 q 3…qm. n n (5) (6) Повторив предыдущие рассуждения для равенства (6), получим, что p 2=q 2 u 2, где u 2 D 1, т. е. p 2 q 2, и n u 1 u 2 p 3 p 4…pk = q 3 q 4…qm, и т. д. Ясно, что при k < m через k шагов получили бы невозможное равенство n u 1 u 2…uk = qk+1 qk+2…qm, где u 1 u 2…uk D 1. Аналогично при k > m через m шагов получили бы невозможное равенство u 1 u 2…um pm+1 pm+2…pk = 1. Таким образом, k = m и pi qi при i = 1, 2, . . . , m. ◙
§ 9. Кольца главных идеалов n n 1. n В заключение этого параграфа приведем примеры нефакториальных колец. Пример 3. В поле R рассмотрим подмножество K = { i a i 2 r | ai Z, r 0, r Q, i =1, 2, …}. Ясно, что K – подкольцо поля R, 1 K и поэтому K – целостное кольцо. Однако, это кольцо не факториальное, так как необратимое в K ненулевое число 2 не имеет конечного разложения на простые множители: .
§ 9. Кольца главных идеалов n n n n Пример 4. В поле C рассмотрим подмножество n K={a + bi 3| a, b Z}. Ясно, что K – подкольцо поля C, 1 K и поэтому K – целостное кольцо. Покажем, что это кольцо не факториальное. Нормой произвольного комплексного числа z = a+bi назовем неотрицательное число N(z)=(a+bi)(a-bi)= a 2+b 2=|z|2. Очевидно следующее свойство нормы: n N(z) 0 и N(z) = 0 z = 0. (7) Легко проверяется свойство мультипликативности нормы: N(zw) = | zw|2 =| z|2 |w|2 = N(z)N(w), (8) где z и w – любые комплексные числа.
§ 9. Кольца главных идеалов n n n n Пример 4. В поле C рассмотрим подмножество K={a + bi 3| a, b Z}. n N(z)=(a+bi)(a-bi)= a 2+b 2=|z|2. n N(z) 0 и N(z) = 0 z = 0. N(zw) = | zw|2 =| z|2 |w|2 = N(z)N(w), (7) (8) Таким образом, в кольце K для числа z = a + bi 3 имеем N(z) = a 2+3 b 2. Отметим специфическое для этого кольца свойство: n u D 1 N(u) = 1. (9) В самом деле, если u D 1, то u u-1 = 1, и поэтому n N(u u-1) = N(1) = 1. Из последнего равенства ввиду свойства нормы (8) получим N(u) N(u-1) = 1, т. е. N(u) = 1. Обратно, если u = x+ yi 3 и N(u) = 1 , то x 2 + 3 y 2 = 1. Отсюда y = 0 и u = x = 1, т. е. u D 1 (одновременно мы показали, что D 1 = {1, – 1}).
§ 9. Кольца главных идеалов K={a +bi 3| a, b Z}. N(z) = a 2+3 b 2 n N(z) 0 и N(z) = 0 z = 0. N(zw) = | zw|2 =| z|2 |w|2 = N(z)N(w), u D 1 N(u) =1. n n n n (7) (8) (9) Возьмем любой необратимый элемент z = a + bi 3 кольца K. Этот элемент имеет конечное разложение на простые множители, ибо в противном случае в силу свойства (8) и натуральное число N(z) не имело бы конечного разложения на простые множители в N. Покажем, что такое разложение может быть не единственным. Заметим сначала, что если N(z) = 4, то z – простой элемент кольца K. Действительно, если z = , то логически возможны три случая: 1) N( ) = 4, N( ) = 1; 2) N( ) = 1, N( ) = 4; 3) N( ) = 2, N( ) = 2. В первых двух случаях и ввиду свойства (9) являются тривиальными делителями элемента z (они ассоциированы с z). Третий случай вообще невозможен, так как уравнение x 2 + 3 y 2 =2 не имеет решения в целых числах. Таким образом, z – простой элемент кольца K.
§ 9. Кольца главных идеалов n n n K={a +bi 3| a, b Z}. N(z) = a 2+3 b 2 N(z) 0 и N(z) = 0 z = 0. N(zw) = | zw|2 =| z|2 |w|2 = N(z)N(w), u D 1 N(u) =1. (7) (8) (9) Возьмем любой необратимый элемент z = a + bi 3 кольца K. Этот элемент имеет конечное разложение на простые множители, ибо в противном случае в силу свойства (8) и натуральное число N(z) не имело бы конечного разложения на простые множители в . Покажем, что такое разложение может быть не единственным. Заметим сначала, что если N(z) = 4, то z – простой элемент кольца K. В частности, элементы 2, 1+i 3, 1 -i 3, имеют норму 4 и являются простыми в кольце K. Из равенств n 4=2· 2=(1+i 3) ·(1 -i 3) видно, элемент 4 имеет в кольце K два различных разложения на прстые сомножители и поэтому кольцо K не является факториальным в кольцом.
§ 10. Евклидовы кольца n Евклидовы кольца примечательны тем, что в них для любых элементов существует НОД, который можно находить с помощью алгоритма Евклида, как это делается в кольце целых чисел и кольце многочленов от одной переменной над полем. n Определение 1. Целостное кольцо E называется евклидовым, если существует отображение h : E N 0, удовлетворяющее условиям: (E 1) для любых a, b E, b 0 в кольце E существуют такие элементы q и r, что a = bq + r и h(r ) < h(b); (E 2) для любого a E равенство h(a) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда a = 0. n n Пример 1. Кольцо Z целых чисел является евклидовым, так как отображение h : Z N 0, заданное равенством h(a) = |a| для любого a из Z удовлетворяет условиям (E 1) и (E 2) определения 1. Пример 2. Кольцо P[x] многочленов над полем P является евклидовым, так как отображение h : P[x] N 0, заданное равенством h(f(x)) = degf(x)+1 для любого f(x) из P[x] удовлетворяет условиям (E 1) и (E 2) определения 1.
§ 10. Евклидовы кольца n n n n n Определение 1. Целостное кольцо E называется евклидовым, если существует отображение h : E N 0, удовлетворяющее условиям: (E 1) для любых a, b E, b 0 в кольце E существуют такие элементы q и r, что a = bq+r и h(r ) < h(b); (E 2) для любого a E равенство h(a) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда a = 0. Т е о р е м а 1. Кольцо Z[i] целых гауссовых чисел является евклидовым кольцом. ◘ Так как множество Z[i] = {a+bi | a, b Z} – подкольцо поля C комплексных чисел, то Z[i] – область целостности. Для любого числа z=a+bi из Z[i] положим n h(z) = N(z) = a 2 + b 2 = |z|2, т. е. в качестве отображения h берем функцию-норму N. Ясно, что h(z) 0 и h(z) = 0 тогда и только тогда, когда z = 0. Тем самым определено отображение h : Z[i] N 0 со свойством (E 2) определения 1.
§ 10. Евклидовы кольца n Определение 1. Целостное кольцо E называется евклидовым, если существует отображение h : E N 0, удовлетворяющее условиям: (E 1) для любых a, b E, b 0 в кольце E существуют такие элементы q и r, что a = bq+r и h(r ) < h(b); (E 2) для любого a E равенство h(a) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда a = 0. n Т е о р е м а 1. Кольцо Z[i] целых гауссовых чисел является евклидовым кольцом. n n Пусть даны два гауссовых числа z=a+bi и w=c+di, причем w 0. Докажем существование гауссового числа q такого, что h(z – wq) < h(w). Сначала разделим z на w в поле C обычным образом: , n n n где рациональные числа и не обязаны быть целыми. Обозначим через x и y целые числа, ближайшие к числам и , т. е. такие, что | –x| ½ и | – y| ½, и положим q = x+yi. Разность z/w – q обозначим через t, т. е. n t = ( + i) – ( x+yi) = ( –x) + ( – y)i. В силу выбора целых чисел x и y имеем n h(t) = ( –x)2 + ( – y)2 (½)2 +(½)2 = ½. С другой стороны, для числа r = z –wq = ( z/w – q)w = tw, ввиду свойства мультипликативности нормы имеем n h(r) = h(z – qw) = h(t)h(w) ½ h(w). Следовательно, z = wq+r, где h(r) < h(w), т. е. условие (E 2) определения 1 также выполнено. Таким образом, кольцо Z[i] относительно отображения h: Z[i] N 0 , заданного формулой h(z) = |z|2 является евклидовым кольцом. ◙
§ 10. Евклидовы кольца n n n n n Т е о р е м а 2. Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. ◘ Пусть E – евклидово кольцо, I – его ненулевой идеал. Надо показать, что I – главный идеал. Так как I' = I |{0} , в силу условия (E 2) h(I') – непустое подмножество в N. Но тогда в h(I') есть наименьший элемент m. Пусть b – такой элемент из I', что h(b) = m. Тогда в I' истинно высказывание n ( x I') h(b) h(x). (1) Докажем, что I = ( b). Пусть a I. В силу условия (E 1) в кольце E существуют такие элементы q и r, что a = bq+r и h(r) < h(b). (2) Поскольку I – идеал, элемент r = a – bq принадлежит I. В силу (1) и (2) r I'. Следовательно, h(r) = 0, r = 0 и a b. Так как a – произвольный элемент из I , имеем включение I (b). С другой стороны, (b) I , поскольку b I. Таким образом, I = (b), т. е. любой идеал в кольце E является главным. ◙
§ 10. Евклидовы кольца n n n Т е о р е м а 2. Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Следствие 1. Любое евклидово, кольцо является факториальным кольцом. Замечание. В кольце P[x, y] от двух переменных над полем P идеал I 0, состоящий из многочленов с нулевым свободным членом, не является главным, так x не делится на y и y не делится на x. Следовательно, кольцо P[x, y] не является кольцом главных идеалов и тем более евклидовым кольцом. Еще Евклид (греческий математик, IV в. до н. э. ) указал эффективный способ нахождения НОД двух целых, который теперь носит название алгоритма Евклида. Аналогичный алгоритм имеет место и для многочленов над полем. Оказывается, что этот алгоритм может быть реализован в любом евклидовом кольце.
§ 10. Евклидовы кольца n n Пусть нужно найти НОД(a, b), где a, b – элементы евклидова кольца E, причем b 0. Если а b, то, очевидно, что НОД(a, b)=b. Пусть а не делится на b. Осуществив последовательно деление с остатком сначала а на b, затем b на первый полученный остаток, потом первый остаток на второй и т. д. , получим равенства: (E) n n n заканчивающихся, когда получим rn+1=0. Последнее неизбежно, так как строго убывающая последовательность h(b) > h(r 1) > h(r 2) > … не может содержать более чем h(b) натуральных чисел. Равенства (Е) называют равенствами Евклида.
§ 10. Евклидовы кольца (E) n n n n Т е о р е м а 3. Пусть a, b – элементы евклидова кольца E, причем b 0. Если а не делится на b, то НОД(a, b) равен последнему ненулевому остатку в системе равенств Евклида (Е), т. е. НОД(a, b) = rn. ◘ Покажем сначала, что rn – общий делитель элементов a и b. В силу последнего равенства системы (Е) rn-1 rn. Из предпоследнего равенства системы (Е) по свойству 4 делимости из § 7 получаем rn-2 rn и т. д. Поднимаясь по равенствам системы (Е) через конечное число шагов, получим, что a rn и b rn. Докажем теперь, что rn делится на любой общий делитель d элементов a, b. Из первого равенства системы (Е) имеем a d , b d, r 1 = a+b(-q 0) и по свойству 4 делимости из § 7 получаем r 1 d. По аналогии из второго равенства системы (Е) получаем r 2 d и т. д. Через конечное число шагов получим, что rn d. Таким образом, НОД(a, b) = rn. ◙ Способ нахождения НОД двух чисел, основанный на теореме 2, носит название алгоритма Евклида.
Скачать презентацию АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Доцент Мартынова Т А 4 с
ЛЕКЦИЯ 12. ФАКТОРИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА.ppt