Алгебраические системы Вводный курс математики
Алгебраические системы Алгебраическая система (алгебраическая структура ) – множество A (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура) Обычно операции и отношения удовлетворяют некоторой системе аксиом < A, > Алгебра – алгебраическая система с заданным на нём набором операций Модель – алгебраическая система с заданным на нём набором отношений
Полугруппа Пусть G <G, *> - полугруппа, если на множестве G задана ассоциативная операция * <G, *> - полугруппа, если 1) a, b G a*b G 2) a, b, c G a*(b*c) = (a*b)*c Примеры: <Z, +> <Z, > <M 2(R), +> <2 Z, +> <M 2(R), >
Группа Пусть G Полугруппа <G, *> - группа, если в G существует нейтральный элемент и у каждого элемента a G существует нейтрализатор относительно * <G, *> - группа, если 1) a, b G a*b G 2) a, b, c G a*(b*c) = (a*b)*c 3) e G a*e = e*a = a 4) a G a' G a*a' = a'*a = e
Примеры групп: <2 Z, +> <M 2(R), +> Контрпримеры: <Z, > <M 2(R), > <N, +>
Абелева группа Группа <G, *> называется абелевой, если * - коммутативная операция Примеры: <2 Z, +> <P(X), > <M 2(R), +> Контрпримеры: M = { A M 2(R) | det A 0 } <M, > - группа, но не абелева
Кольцо Пусть K < K, +, > - кольцо, если 1) < K, + > - абелева группа 2) < K, > - полугруппа 3) умножение дистрибутивно относительно сложения
Кольцо < K, +, > - кольцо (K ), если: 1) a, b K a+b K 2) a, b, c K a+(b+c) = (a+b)+c 3) 0 K a+0 = 0+a = a 4) a K a+( a) = ( a)+a = 0 5) a, b K a+b = b+a 6) a, b K a b K 7) a, b, c K a (b c) = (a b) c 8) a, b, c K a (b+c) = (a b)+(a c) (b+c) a = (b a)+(c a)
Кольцо Примеры: <Z, +, > <2 Z, + , > <Q, +, > <R, +, > <M 2(R), +, > Контрпримеры: <Z, +, > Вычитание не ассоциативно
Делители нуля a, b - делители нуля, если a 0 и b 0, но a b=0 Пример: A, B M 2(R)
Область целостности Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля – область целостности < K, +, > - область целостности, если: 1) 2) 3) 4) < K, +, > - кольцо a, b K a b=b a 1 K a 1=1 a=a a, b K a b=0 a=0 V b=0
Область целостности Примеры: <Z, +, > <Q, +, > <R, +, > Контрпримеры: <2 Z, + , > 1 – единица (нейтральный элемент относительно умножения), но 1 2 Z <M 2(R), +, > Умножение не коммутативно В M 2(R) есть делители нуля
Поле Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим – поле < P, +, > - поле, если: 1) 2) 3) 4) < P, +, > - кольцо a, b P a b=b a 1 P a 1=1 a=a a P (a 0 a-1 P (a-1 a=a a-1=1))
Поле Примеры: <R, +, > <Q, +, > Контрпримеры: <Z, +, > Например, для элемента 2 обратный 1/2 Z <M 2(R), +, > Умножение не коммутативно
Поле и область целостности Теорема: Любое поле является областью целостности Доказательство: Пусть < P, +, > - поле, т. е. коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим Осталось показать, что в P нет делителей нуля От противного: пусть в P есть делители нуля, т. е. a, b P a 0 и b 0, но a b=0 Так как a 0, то a-1 P (a-1 a=a a-1=1) -1 a-1 (a b)=b (a a) b=1 b a-1 0=b 0 ПРОТИВОРЕЧИЕ
Поле и область целостности Замечание: Не всякая область целостности является полем Действительно: <Z, +, > - область целостности, но не поле
Скачать презентацию Алгебраические системы Вводный курс математики Алгебраические системы
08 Алгебраические системы 2_12_13.ppt