Алгебра Жегалкина Жегалкин Иванович 7 7 1861

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

РЕГИСТРАЦИЯ

Алгебра Жегалкина

Жегалкин Иванович 7. 7. 1861, Мценск 28. 3. 1947

Биография Жегалкина И. И. Жегалкин Иванович— логик, математик, педагог. Окончил физико-математический. ф-т Московского ун-та (1893). С 1902 работал в Московском ун-те до конца жизни. Профессор (1923), заведующий кафедрой математического анализа (1930), доктор физико-математических наук (1935), заслуженный деятель науки РСФСР. Научная работа Жегалкина тесно связана с основаниями математики. Его «Трансфинитные числа» — одна из первых монографий по абстрактной теории множеств в отечественной и мировой литературе. В числе первых в стране занимался (с 1927) исследованиями по математической логике. В первой из своих статей Жегалкин осуществил вложение логики высказываний в арифметику вычетов по модулю 2, указав процедуру разрешения для булевых функций с помощью многочленов (Жегалкина). С тех пор кольцо вычетов по модулю 2 называют также алгеброй Жегалкина. В 30 е гг. Жегалкин создал научный семинар по математической логике, которым он руководил совместно с С. А. Яновской и П. С Новиковым.

Алгебра Жегалкина Заслуженный деятель науки России И. И. Жегалкин разработал алгебру логики (алгебру Жегалкина), в которой основные логические функции выражаются через операции { , , 1}. Коньюнкцию x y, как и многие другие математики, он называл логическим умножением и обозначал x y ( в Паскале X and Y). Сложение по модулю 2 x y ( в Паскале X xor Y) он называл сложением и обозначал x + y. Любая булева функция записывается в виде многочлена, например, , ( многочлен Жегалкина)

Свойства операций алгебры Жегалкина • Операции и ассоциативны, т. е. X 1 (X 2 X 3) = (X 1 X 2) X 3; X 1 (X 2 X 3) = (X 1 X 2) X 3. • Операции и коммутативны, т. е. X 1 X 2 = X 2 X 1; X 1 X 2 = X 2 X 1. • Коньюнкция дистрибутивна относительно , т. е. X 1 (X 2 X 3) = X 1 X 2 X 1 X 3.

Свойства операций алгебры Жегалкина • Свойство идемпотентности: x x = x; x x = 0. • Операции с 0 и 1: x 0 = 0; x 0 = x; x 1 = x;

Связи операций алгебры Жегалкина с булевыми операциями и Связь сложения в алгебре Жегалкина с операциями в алгебре Буля: Докажем последнее равенство:

Связи булевых операций и с операциями алгебры Жегалкина Выражение операций в алгебре Буля через операции в алгебре Жегалкина: (*) Докажем последнее равенство: таблица 2

Полиномы Жегалкина • Алгебраические выражения, состоящие из переменных, связанных операциями сложения и умножения, в алгебре называют многочленами (полиномами). Поэтому формулы в алгебре Жегалкина обычно называют многочленами (или полиномами) Жегалкина. Общий вид полинома Жегалкина c n переменными : P(x 1, x 2, …, xn) = a 0 a 1 X 1 a 2 X 2 … an. Xn a 1, 2 X 1 X 2 a 1, 3 X 1 X 3 … a 1, 2, …n. X 1 X 2…Xn (**), где ai, …, j {0, 1}, Xi логическая переменная. Теорема 1: Количество различных полиномов Жегалкина с n переменными равно , то есть совпадает с количеством булевых функций с n переменными. Доказательство. Количество слагаемых в полиноме (**) равно числу всех произведений aij…k xixj…xk, т. е. , а коэффициенты ai…j равны 0 или 1. Поэтому количество полиномов Жегалкина будет.

Полиномы Жегалкина Теорема 2: Любая логическая функция f(x 1, x 2, …, xn) может быть выражена и притом единственным образом полиномом Жегалкина. Доказательство. Представим логическую функцию в СДНФ (или в СКНФ). Затем, используя формулы (*), заменим булевы операции и операциями и в алгебре Жегалкина, получим полином Жегалкина, равносильный заданной функции. Единственность представления логической функции многочленом Жегалкина следует из теоремы 1.

Алгоритм представления булевой функции полиномом Жегалкина • Приведем алгоритм, следуя которому для данной булевой функции f можно построить полином Жегалкина: 1. Запишем функцию f в СДНФ (или СКНФ); 2. С помощью равенств (*) перейдем от отрицания и дизьюнкции к операциям алгебры Жегалкина: Пример: X Y = = (X 1) Y (X 1) ·Y = = X 1 Y X·Y Y = 1 X X·Y.

Метод неопределенных коэффициентов Пусть задана логическая функция с n переменными. Напишем полином Жегалкина n – ой степени в общем виде с неопределенными коэффициентами. Затем, перебирая все наборы значений переменных, находим значения коэффициентов. Пример: X Y = a b. X c. Y d. XY; ( полином 2 -й степени). При При X = 0, Y = 0 X = 0, Y= 1 X= 1, Y= 0 X= 1, Y= 1 получим: 1= a, поэтому a = 1. получим: 1= 1 с· 1, откуда с = 0. получим: 0 = 1 b· 1, откуда b = 1. получим: 1 = 1 1 0 d· 1, откуда d = 1. Следовательно, X Y = 1 X XY.

Скачать презентацию Алгебра Жегалкина Жегалкин Иванович 7 7 1861

Алгебра Жегалкина.ppt

Количество слайдов: 12