Алгебра высказываний Бинарные функции функции двух переменных

Алгебра высказываний

Бинарные функции (функции двух переменных) Таблица истинности x y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 12 f 14 f 15 1 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 & ↦ x ↤ y ∘ ~ ⌐y ← ⌐x → | 1

Функционально полные системы (базисы) n Существуют наборы логических операций, с помощью которых можно выразить любые другие логические операции. Такие наборы называются функционально полными системами или базисами. n Примеры функционально полных систем логических n n n функций: { } (Функция Вебба), { } (штрих Шеффера); { 0}, { 1}, { 1} и другие. n Наиболее изученным является базис {&, , }. Формулы, содержащие кроме переменных и скобок знаки этих функций называются булевыми.

Булева алгебра логических операций n Теорема: Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т. е. как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. n Следствие: система булевых функций функциональна полна. n Алгебра (Р 2; &, , ), основным множеством которой является множество всех логических функций Р 2, а операциями дизъюнкция, конъюнкция и отрицание, называется булевой алгеброй логических операций.

Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре n n n n n ассоциативностей a (b c)=(a b) c, a(bc)=(ab)c; коммутативностей a b=b a, ab=ba; дистрибутивностей a(b c)=(ab) (ac); a (bc)=(a b)(a c); идемпотентностей a a=a, aa=a; двойного отрицания a=a; законы 0 a 0=a, a 0=0, a a=0; законы 1 a 1=1, a 1=a, a a=1. де-Моргана a b= (a b), a b= (a b); противоречия a а=0; исключенного третьего a а=1

Упражнения Упр 10: Доказать А В А В = А Упр 11: Упростить формулы x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3

Карта Карно для упрощения СДНФ зависящей от трех переменных p, q, r n Карта Карно представляет собой таблицу у которой 2 строки и 4 столбца. n В строки заносим любую переменную и ее отрицание (скажем r и r) n В строках записаны конъюнкции двух переменных или их отрицаний. При этом в каждые соседние столбцы изменяются ровно на один символ

Карта Карно для упрощения СДНФ зависящей от трех переменных p, q, r n Запись: В ячейки, соответствующим элементарным конъюнкциям СДНФ, записываются 1. n Группировка: Выделяются рядом стоящие пары как по горизонтали так и по вертикали. n Преобразование: Из выделенной пары остаются два одинаковых множителя n Замечание 1: Так как первый столбец отличается от последнего одной переменной, то их группировать. n Замечание 2: Если группируется квадрат, то результат преобразования есть единственный общий множитель n Замечание 3: Для группировки, одну и ту же ячейку можно использовать дважды. Упр 12: Используя карту Карно упростить полученную в функциональной схеме СДНФ pqr pq r. Провести сокращение алгебраически.

Булева алгебра и коммутационные схемы n В 1938 г. Клод Шеннон заметил связь между таблицами истинности и электрическими цепями. n В схеме представленной на левом рисунке лампочка загорается (имеет значение 1) если оба переключателя замкнуты (значения 1), что соответствует высказыванию pq. n В схеме на правом рисунке лампочка загорается (1) если хотя бы один из переключателей замкнут (т. е. хотя бы один имеет значение 1), что соответствует высказыванию p q n Предполагается, что имеется схема в которой лампочка загорается, если выключатель разомкнут.

Синтез коммутационных схем n Синтез коммутационных схем заключается в построении схемы по заданной формуле n Пример: Муниципальный совет состоит из 3 человек. Каждый член совета имеет для голосования кнопку «за» и «против» . Решение принимается если за него проголосует большинство. Построить коммутационную схему устройства, сигнализирующего о том, что решение принято. n Решение будет принято, если голосование пройдет по любому из вариантов pqr, pq r. Поэтому итоговая булевая функция: pqr pq r n В дальнейшем, если элементарная конъюнкция состоит из n переменных, то ее функциональный элемент имеет n входов. Аналогичное применяется для элементарной дизъюнкции.

Синтез коммутационных схем Пример n Прежде чем строить коммутационную схему формулу следует максимально упростить n pqr pq r = pq qr pr = pq r (q p)

Анализ коммутационных схем n Анализ коммутационных схем заключается в определении булевой формулы соответствующей рассматриваемой схемы n Для этого составляют таблицу, в которой для каждого функционального элемента определяют значения входов и выхода. n Выход последнего элемента определяет итоговую булевую функцию. 2 Эл Вх1 1 p p 2 r r 3 p q pq 4 p r p r 5 p r 6 pq 1 Вх2 Вых (p r) pq (p r) 3 6 4 5

Методы проверки тождественной истинности формул ИВ n Тривиальный метод (найти значения при всех возможных интерпретациях, таблица истинности) n Алгебраический метод (применение законов булевой алгебры логики) n Метод Куайна (обобщение тривиального алгоритма) n Метод редукции (проверка формул путем сведения к абсурду)

Метод Куайна Доказать Тождественную Истинность формулы P=(((p&q) r) &(p q)) (p r) Решение Выберем p = 1, тогда P=(((1&q) r) &(1 q)) (1 r)=((q r ) & q) r =P* Рассмотрим два случая q = 0 и q = 1 P*(q=0) = ((0 r ) & 0) r =0 r =1 P*(q=1) = ((1 r ) & 1) r =r r =1 Выберем p = 0, тогда P =(((0&q) r) &(0 q)) (0 r)=((0 r ) & 1) 1= 1 1 = 1

Метод редукции n Предполагается, что существует интерпретация h, в которой формула равна нулю h(F)=0 n Проводится анализ всех возможных ситуаций n Если получено противоречие, то первоначальное предположение не верно

Пример Доказать Тождественную истинность формулы F=((p&q) r) (p (q r)) Решение: Пусть существует интерпретация h: h(F) = 0, 1. F=((p&q) r) (p (q r)) = 0 Это возможно если 2. h((p&q) r) = 1 и 3. h(p (q r))=0. Это возможно если 5. h(q r) = 0 и Используя (4) h(p) =1. преобразуем (2) h((p&q) r) = 1 6. h((p&q) r) = h((1&q) r) = h(q r) =1 П. 5 и п. 6 противоречат другу. Значит предположение, о том, что существует интерпретация в которой F=0 не верна, т. е. формула является Тождественно Истинной

Проверка ТИ формул типа F=P R n Проверка ТИ формул типа F=P R, является по существу задачей типа: Определить является ли R логическим следствием Р n При этом Р может быть сложной функцией представимой в виде Р=P 1 & P 2 & …. . & Pn элементарной конъюнкции n Для определения является ли R логическим следствием Р применяют Метод Резолюций

Метод Резолюций n Предполагается, что R нельзя вывести из утверждений P 1, P 2, … n n n , Pn, что соответствует формуле F= P 1 & P 2 & … & Pn & R Привести F к КНФ Формуле представленной в виде КНФ ставим в соответствие множество дизъюнктов Применить правило Резолюций. Множество дизъюнктов противоречиво, если получена пустая резольвента. Предположение (R нельзя вывести из утверждений P 1, P 2, … , Pn, ) не верно, если множество дизъюнктов противоречиво n Правило Резолюций 1) В множестве дизъюнктов находим любых два дизъюнкта Pi и Pj, представимые в виде Pi= Ci Pi*, Pj= Cj Pj*, при этом Pi*, Pj* могут быть пустыми, а Ci и Cj называются контрарными литералами. 2) Резольвента R= Pi* Pj*, дизъюнктов Pi и Pj является новым истинным высказыванием и добавляется в множество дизъюнктов.

Пример n Упр 13: Методом резолюций доказать справедливость следующего логического вывода. n «В совершении преступления подозреваются A, B, C, D. Расследование показало, что если А или В виновны, то виновен и С; если А виновен, то по крайней мере один из двух В или С тоже виновны; если С виновен, то и D виновен; если А не виновен, то D виновен. Следователь сделал вывод, что D виновен» .

Пример: метод резолюций 1) A C 2) B C 3) A B C 4) C D 5) A D 6) D --------------------7) R 1, 5 = C D 8) R 7, 4 = D 9) R 8, 6 = 0

Исчисление высказываний n Математическая логика состоит из двух разделов: логики высказываний и логики предикатов. n Логика высказываний может быть представлена двумя подходами: алгеброй высказываний и исчислением высказываний. n Исчисление высказываний является аксиоматической (формальной) теорией.

Аксиоматическая (формальная) теория T считается определенной, если выполнены следующие условия: n Задано некоторое счетное множество символов — алфавит теории T. n Определено подмножество правильно построенных последовательностей символов теории T, называемых формулами теории T (язык теории). n Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории T; n Задано конечное множество R 1, R 2, . . . , Rn отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Аксиомы исчисления высказываний (система аксиом 1) n I 1. A (B A); n I 2. (A B) ((A (B C)) (A C)); n I 3. (A B) A; n I 4. (A B) B; n I 5. A (B (A B)); n I 6. A (A B); n I 7. B (A B); n I 8. (A C) ((B C) ((A B) C)); n I 9. (A B) ((A B) A); n I 10. A A

Аксиомы исчисления высказываний (система аксиом II) n II 1. A (B A); n II 2. (A (B C)) ((A B) (A C)); n II 3. ( A B) (( A B) A) A B заменяет A B, A B заменяет (A B)

Система аксиом III (дизъюнктивный базис Буля) n III 1. A A A n III 2. A B B A; n III 3. A A B; n III 4. (B C) (A B A C), где запись эквивалентна записи .

Свойства систем аксиом n В каждой системе аксиом, аксиомы не могут быть получены друг из друга по правилам вывода n Все системы аксиом эквивалентны так как любая система аксиом может быть выведена из другой системы аксиом по правилам вывода

Правила вывода исчисления высказываний подстановки: если — выводимая формула, содержащая букву A (обозначив это как (A)), то выводима формула ( ), получающаяся из заменой всех вхождений A на произвольную формулу b n правило заключения (modus ponens): (если и — выводимые формулы, то также выводимая формула)

Выводимость формул n Если формулы F 1, …, Fn, G находятся в отношении R, то формула G называется непосредственно выводимой из F 1, …, Fn по правилу R. формулы F 1, …, Fn, называются посылками правила R, а G — его следствием или заключением. n Выводом формулы G из формул A 1, …, An, называется всякая последовательность F 1, F 2, . . . , Fm формул такая, что Fm = G, а любая формула Fi есть либо аксиома теории T, либо одна из исходных формул A 1, …, An, либо выводима из формул F 1, …, Fi -1 по одному из правил вывода. n Если существует вывод G из A 1, …, An, то говорят, что G выводима из A 1, …, An т. е. является теоремой формальной теории Т. Этот факт обозначается A 1, …, An |— G. n Формулы A 1, …, An называются гипотезами или посылками вывода. Переход в выводе от Fi-1 к Fi называется i-м шагом вывода.

Разрешимые и неразрешимые формулы n В общем случае может не существовать эффективной процедуры, с помощью которой можно определить по данной формуле, существует ли ее вывод в теории T. n Формула, для которой такая процедура существует, называется разрешимой в этой теории, в противном случае — неразрешимой. n Иначе говоря, для неразрешимых формул нельзя построить алгоритм, который ответит на вопрос: является ли формула теоремой.

Свойства Исчисления Высказывания Имеют место следующие метатеоремы. Теорема 1: Всякая теорема исчисления высказываний (Т) есть тавтология (т. е. тождественно истинная формула) Теорема 2: Всякая тавтология является теоремой исчисления высказываний. Таким образом, теоремами теории Т являются тождественно истинные формулы и только они. Формальная теория Т (исчисление высказываний) является полной теорией

Свойства Исчисления Высказывания Непротиворечивость: в теории Т нет одновременной выводимости теоремы и ее отрицания. Из теоремы 1 следует, что теория Т непротиворечива. Действительно, любая теорема в Т есть тождественно истинная формула (тавтология). Ее отрицание не есть тавтология.