АЛГЕБРА Профессор Мартынов Л М 2012 -13 уч

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

АЛГЕБРА Профессор Мартынов Л. М. 2012 -13 уч. год 1 с_ИБ_Ом. ГУПС

Объем дисциплины и виды учебной работы (часы) n n n Лекции 36 Практические занятия 18 СРС 18 Экзамен 36 Общая трудоемкость 108 Формы контроля Инд+Экзамен

Литература q 1. 2. 3. 4. 1. Основная литература: Мартынов Л. М. Элементы алгебры и теории чисел. – Омск: Сиб. АДИ, 2006. – 195 с. Мартынов Л. М. Вводный курс математики – Омск: Ом. ГПУ, 2009. – 132 с. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре / Санкт-Петербург: Лань, 2002. Фаддеев Д. К. , Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре / Санкт-Петербург: Лань, 2001. Дополнительная литература: Шнеперман Л. Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел – СП, Москва, Краснодар, 2008. – 224 с.

Цели и задачи дисциплины n n Основной целью дисциплины является вооружение будущих специалистов прочными знаниями, умениями и навыками в области алгебры, позволяющими им успешно справляться с задачами профессиональной деятельности. Основными задачами раздела являются: 1) подготовка математического аппарата для чтения других разделов математики, в частности, аналитической геометрии и математического анализа; 2) подготовка математического аппарата для чтения дисциплин профессиональной подготовки специалистов, в частности, «Криптографические методы защиты информации» .

Цели и задачи дисциплины n n В связи с последней задачей кроме традиционного изучения комплексных чисел, систем линейных уравнений, матриц и определителей, векторных и евклидовых пространств, линейных преобразований, присутствующего в программах по дисциплине «Высшая математика» практически во всех технических вузах, в программу включены нетрадиционные для таких вузов темы. В частности, программа предусматривает знакомство с понятием полугруппа, имеющим важное значение для алфавитного кодирования, предполагает довольно детальное изучение теории чисел, групп, колец, полей, многочленов, играющих большую роль при линейном и циклическом кодировании и в криптографии.

ВВЕДЕНИЕ. Краткий исторический очерк развития алгебры ЛЕКЦИЯ 1

ВВЕДЕНИЕ n n Термин "алгебра" происходит от названия сочинения узбекского математика Мухаммеда ал-Хорезми (9 в. н. э. ) "Китаб ал-джебрал. Мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении"). В ней впервые алгебра рассматривалась как самостоятельный раздел математики. Она содержала приемы решения задач, сводящихся к алгебраическим уравнениям 1 -ой и 2 -ой степени.

ВВЕДЕНИЕ n n n Наиболее значительное развитие алгебра получила начиная с 15 века: в это время вместо громоздкого словесного описания алгебраических действий в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки "+" и "-", затем знаки корней и скобки. В конце 16 в. французский математик Ф. Виет (1540 -1603) впервые стал применять буквенные обозначения, как для неизвестных, так и для заданных величин. К середине 17 века в основном сложилась современная символика и тем самым завершилась "предыстория " алгебры. Развитие собственно алгебры происходило в три последующих столетия, причем точка зрения на ее предмет несколько раз существенно менялась.

ВВЕДЕНИЕ n В 17 -18 вв. под алгеброй понималась наука о буквенных вычислениях – тождественных преобразованиях буквенных формул, решения алгебраических уравнений и т. п. , - в отличие от арифметики, занимавшейся вычислениями над конкретными числами. Предполагалось, однако, что под буквами подразумеваются числа, целые или дробные.

ВВЕДЕНИЕ n n n Вот краткое содержание одного из лучших руководств того времени – "Введение в алгебру" Л. Эйлера (1707 -1783): целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, корни, логарифмы, алгебраические уравнения 1 -й – 4 -й степеней, прогрессии, соединения, бином Ньютона, диофантовы уравнения. Таким образом, к середине 18 в. алгебра сложилась в том приблизительно объеме, который называется "элементарной" алгеброй.

ВВЕДЕНИЕ n n n Алгебра 18 -19 вв. есть прежде всего алгебра многочленов. Ее главной задачей было решение алгебраических уравнений с одной переменной, т. е. уравнений вида: (*) и систем алгебраических уравнений. Основной задачей было нахождение формул для выражения корней уравнения (*) при различных значениях через коэффициенты с помощью обычных арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (при наличии таких формул говорят, что уравнение разрешимо в радикалах).

ВВЕДЕНИЕ n n n К тому времени были хорошо известны формулы для нахождения корней уравнений 1 -ой и 2 -ой степени. В 16 в. была найдена формула для решения уравнений 3 -ей степени. История открытия этих формул очень увлекательна и до сих пор имеет "темные пятна", но за ними прочно утвердилось название "формул Кардано" (Дж. Кардано (1501 -1576 г. г. ) – итальянский математик). Вскоре итальянский математик Л. Феррари (1522 -1565 гг. ), ученик Кардано, указал способ решения уравнений 4 -й степени.

ВВЕДЕНИЕ n n n В течении почти трех последующих столетий продолжались безуспешные попытки найти аналогичные формулы для решения уравнений высших степеней. В связи с этим приобрела большой интерес задача о нахождении хотя бы "бесформульного" доказательства существования комплексного корня для произвольного алгебраического уравнения вида (*) с комплексными коэффициентами (основная теорема алгебры). Эта теорема была впервые высказана в 1608 г. немецким математиком П. Роте (умер в 1617 г. ) и несколько позже в 1929 г. голландским математиком А. Жираром (1595 -1632), а также французским математиком Р. Декартом (1596 -1650).

ВВЕДЕНИЕ n n Первое аналитическое, правда, не вполне строгое, доказательство основной теоремы алгебры дал в 1746 г. французский математик Даламбер (1717 -1783). Более алгебраическое и более близкое к современному, но также не вполне строгое, доказательство этой теоремы было опубликовано в 1749 г. российским математиком швейцарского происхождения Л. Эйлером (1707 -1783); его уточняли в своих работах французские математики Ж. Л. Лагранж (1736 -1813) в 1772 г. и П. С. Лаплас (1749 -1827) в 1795 г. Но первое строгое аналитическое доказательство основной теоремы алгебры дал в 1799 году немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777 -1855). Несколько позже в 1816 г. он же предложил первое строгое алгебраическое доказательство этой теоремы.

ВВЕДЕНИЕ n n В 1824 г. норвежский математик Н. Абель (1802 -1829) доказал, что уравнения выше 4 -ой степени в общем случае не разрешимы в радикалах. Несколько позже в 1830 г. французский математик Э. Галуа (1811 -1832) дал критерий разрешимости уравнений в радикалах.

ВВЕДЕНИЕ n n n Наряду с теорией алгебраических уравнений с одним неизвестным развивается теория систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными, в частности, систем линейных уравнений. В связи с исследованием последних возникают понятия матрицы и определителя. В дальнейшем матрицы становятся предметом самостоятельной теории, роль которой не исчерпывается применением к исследованию систем линейных уравнений.

ВВЕДЕНИЕ n n Начиная с середины 19 в. центр тяжести постепенно перемещается от теории уравнений к изучению произвольных операций, возможно, не над числами. Это стало возможным после постепенного расширения и углубления понятия числа, а также в результате появления разнообразных примеров алгебраических операций над объектами совсем иной природы, нежели числа - первыми такими примерами в начале 19 в. явились "композиция двоичных квадратичных форм" К. Гаусса и умножения подстановок, рассматривавшегося итальянским математиком П. Руффини (1765 -1822) и французским математиком О. Коши (1789 -1857).

ВВЕДЕНИЕ n n n Явное выделение абстрактного понятия алгебраической операции было сделано в середине 19 в. в связи с исследованием природы комплексных чисел. Возникают алгебра логики английского математика Дж. Буля (1815 -1864), внешние алгебры немецкого математика Г. Грассмана (1809 -1877), кватернионы ирландского математика У. Гамильтона (1805 -1865). Английский математик А. Кэли (18211895) создает матричное исчисление, французский математик К. Жордан (1838 -1922) публикует большой трактат о группах подстановок. Джордж Буль (1815 -1864) Артур Кэли (1821– 1895)

ВВЕДЕНИЕ n n Эти исследования привели к таким важным понятиям как группа, кольцо, поле и др. и подготовили вступление алгебры в конце 19 в. - в начале 20 в. в современный этап ее развития, характеризующийся объединением ранее разрозненных алгебраических идей на общей аксиоматической основе и существенным расширением области приложений алгебры. Современная точка зрения на алгебру, как на общую теорию операций сформировалась в начале 20 в. под влиянием работ немецкого математиков Д. Гильберта (1862 -1943), Э. Штейница (1871 -1928), Эмми Нётер (1882 -1935) и окончательно утвердилась с выходом в 1930 г. монографии голландского математика Ван дер Вардена "Современная алгебра".

ВВЕДЕНИЕ n n n В настоящее время общепризнано, что предметом изучения современной алгебры являются алгебраические структуры, т. е. множества с заданными на них алгебраическими операциями и отношениями, рассматриваемые с точностью до изоморфизма. Последнее означает, что природа множеств – носителей алгебраических структур – с точки зрения алгебры безразлична, и в этом смысле подлинным объектом изучения являются сами алгебраические операции и отношения. Известный параллелизм, существующий между некоторыми частями теории групп, теории колец и полей привел к возникновению общей теории алгебраических структур, которая называется универсальной или общей алгеброй.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Сам-но по книге [1], стр. 7 -12.

ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Лит-ра: [1], стр. 12 -30.

ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ n n n Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами. Другими словами, объектом изучения комбинаторики являются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств. Рассматривают соединения как без повторяющихся элементов, так и соединения с повторяющимися элементами. В первом случае их называют соединениями без повторений, во втором – соединениями с повторениями.

ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ n n Необходимость рассмотрения таких соединений возникает как в алгебре, так и в других дисциплинах (теории вероятностей и математической статистике, криптографии, информатике и др. ). Больше внимания здесь будет уделено соединениям без повторений. Некоторые утверждения этого параграфа и других разделов пособия будут доказываться с использованием метода математической индукции и поэтому вначале уделим ему внимание.

§ 1. Различные формы метода математической индукции

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n n Рассматриваемые в математике утверждения можно условно разбить на общие и частные. Например: 1) 28 2; 2) всякое число, оканчивающееся четной цифрой, делится на 2. Здесь утверждение 1) есть частный случай утверждения 2). Дедукция – это метод рассуждения (доказательства) от общего к частному. Аксиоматический метод – это тоже дедуктивный метод. Примером дедукции является также использование общих теорем при решении конкретных задач. Индукция – это метод рассуждения от частного к общему, т. е. рассуждения, при которых общий вывод делается при изучении частных фактов.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n Если общий вывод делается на основании изучения всех частных случаев, то индукция называется полной. Если же вывод делается на основании изучения только части всех частных случаев, то индукция называется неполной. Неполная индукция широко применяется в экспериментальных науках и в математике для создания научных гипотез. Однако в математике неполная индукция доказательной силы не имеет. Так, изучая арифметическую прогрессию a 1, a 2, …, an, мы замечаем, что a 2 = a 1+ d, a 3 = a 1+ 2 d, a 4 = a 1+ 3 d. Эти частные случаи наводят нас на мысль, что при любом натуральном n n an = a 1+(n– 1)d. Как известно, эта догадка действительно верна.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n Другой яркий пример. Более трехсот лет назад французский математик Пьер Ферма (1608– 1665) высказал предположение, что при любом натуральном n 3 уравнение xn+ yn = zn не имеет решений в натуральных числах (Великая теорема Ферма). Долгое время попытки многих математиков и нематиков доказать или опровергнуть это предположение были безуспешными (подробная история изложена, например, в популярной книге М. М. Постникова. Теорема Ферма. М. : Наука, 1978). И лишь сравнительно недавно в 1995 г. профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс доказал (как это сейчас уже признано специалистами) справедливость этой теоремы.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n Однако неполная индукция может привести к неверному выводу. Так Л. Эйлер указал многочлен f(x) = x 2 +x + 41, который в качестве значений для чисел от 0 до 39 дает простые числа: f(0) = 41, f(1) = 43, f(2) = 47 и т. д. Однако f(40) = 412. Другой яркий пример. Еще П. Ферма (1601– 1665) заметил, что числа , простые и естественно предположил, что все числа вида – простые. Однако Эйлер показал, что уже число делится на 641, и тем самым опроверг предположение Ферма.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n Интуитивно ясно, что если подмножество M множества N натуральных чисел обладает следующими свойствами: 1) 1 M; 2) k M k+1 M ; то M = N. При аксиоматическом построении системы натуральных чисел, которое выходит за рамки нашего курса, это утверждение принимается в качестве аксиомы, которую называют аксиомой индукции. Опираясь на эту аксиому, легко обосновать различные формы принципа математической индукции, широко использующиеся в математике.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n n n Т е о р е м а 1 (обычный принцип математической индукции). Если для предложения P(n) с натуральной переменной n выполнены следующие два условия: 1) P(n) истинно при n = 1, т. е. высказывание P(1) истинно; 2) для любого натурального m из истинности P(n) при n = m следует его истинность при n= m + 1, т. е. P(m) P(m+1); то предложение P(n) является истинным при любом натуральном n. □ Обозначим через M множество всех натуральных чисел n, для которых предложение P(n) истинно, т. е. n M = {n N | P(n) истинно}. Тогда из условий 1) и 2) теоремы 1 вытекает, что 1) 1 M; 2) m M m + 1 M. Таким образом, оба условия аксиомы индукции выполнены и поэтому M = N, т. е. предложение P(n) истинен при любом натуральном n. ◘

n n n n n Т§ 1. р е м а 1 (обычный принцип математической индукции). Если для е о Различные формы метода математической индукции предложения P(n) с натуральной переменной n выполнены следующие два условия: 1) P(n) истинно при n = 1, т. е. высказывание P(1) истинно; 2) для любого натурального m из истинности P(n) при n = m следует его истинность при n= m + 1, т. е. P(m) P(m+1); то предложение P(n) является истинным при любом натуральном n. Схема доказательства обычным методом математической индукции: База индукции. Устанавливают истинность предложения P(n) при n = 1. Шаг индукции. Предположив истинность предложения P(n) при n = m, доказывают его истинность при n = m + 1. Вывод. На основании обычного принципа математической индукции делают вывод об истинности предложения P(n) при любом натуральном n. Иногда предложение P(n) не имеет смысла при n = 1, а имеет смысл для натуральных чисел, начиная с некоторого натурального числа k. Чтобы сформулировать принцип математической индукции, охватывающий этот случай, введем обозначение: Nk = {n N | n k } ={k, k+1, k+2, …} – множество всех натуральных чисел, больших или равных k (k = 1, 2, …).

§ 1. Различные формы метода математической индукции n n n Т е о р е м а 2 (обобщенный принцип математической индукции). Если предложение P(n) с натуральной переменной n имеет смысл при всех n k и выполнены следующие два условия: 1) высказывание P(k) истинно; 2) для любого натурального m k из истинности предложения P(n) при n = m следует его истинность при n = m + 1, т. е. P(m) P(m+1); то предложение P(n) является истинным при любом натуральном n k. Без док-ва. Заметим, что частным случаем этого принципа при является обычный принцип математической индукции.

§ 1. Различные формы метода математической индукции n Т е о р е м а 3 (Обобщенный усиленный принцип математической индукции). Если предложение P(n) с натуральной переменной n имеет смысл при всех n k и выполнены следующие два условия: n 1) высказывание P(k) истинно; 2) для любого натурального m k из истинности P(l) для любого натурального l такого, что k l m, следует истинность P(m+1); n то предложение P(n) является истинным при любом n k. n Без док-ва. n

§ 5. Различные формы метода математической индукции n Замечание 1. При k = 1 последний принцип называют n n усиленным принципом математической индукции. Перечисленные принципы позволяют указать следующую общую схему доказательства методом математической индукции: База индукции. Устанавливают истинность высказывания P(k). Шаг индукции. Выбрав любое m k и предположив истинность утверждения P(m) ( P(l) при любом натуральном l таком, что k l m, в случае обобщенного усиленного принципа индукции), доказывают истинность утверждения P(m+1). Вывод. На основании обобщенного (усиленного) принципа математической индукции делают вывод об истинности предложение P(n) при любом n k.

Скачать презентацию АЛГЕБРА Профессор Мартынов Л М 2012 -13 уч

L_1_po_algebre_VVEDENIE_Metod_matinduktsii_1s.ppt

Количество слайдов: 36