Алгебра матриц
Матрицы. Основные определения. Действия над матрицами • • • • Литература Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М. : МЦНМО, 2009. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М. : Наука — Физматлит, 1999. В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М. : ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400 с. Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. -М. : Высш. шк. 1998, 320 с. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. -М. : Наука 1983, 336 с. Бутузов В. Ф. , Крутицкая Н. Ч. , Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с. Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие. -М. : МИФИ, 2005. -308 с. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. -М. : Наука 1966, 576 с. Гельфанд И. М. , Линейная алгебра. Курс лекций. Ланкастер П. Теория матриц. -М. : Наука 1973, 280 с. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. -М. : Наука 1966, 384 с. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. -М. : Мир 1980, 454 с. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ. Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Частные виды матриц • Матрица с любым числом строк и столбцов, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей , • Матрица - строка В=(b 1, b 2, … bn), • Матрица - столбец
Детерминант квадратной матрицы – это ее определитель: • Элементы • образуют главную диагональ матрицы.
Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением, быть может, элементов главной диагонали.
Если все λi = 1, 2…n , то диагональная матрица называется единичной и обозначается: • Определение. • Матрицы А и В называются матрицами одинаковых размеров, если соответственно равны числа строк и столбцов, т. е. их порядки равны. • Две матрицы называются равными. Если они имеют одинаковые размеры и равны. их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Линейные операции над матрицами. 1. Сложение матриц Суммой двух прямоугольных матриц А и В, имеющих одинаковые размеры, называется матрица С, элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. С = А + В , где А = , B= , C= , cik=aik+bik , 1 i m, 1 k n.
Сложение матриц подчиняется следующим законам: • А+В = В+А (коммутативность), • А+(В+С) = (А+В)+С (ассоциативность), • Если 0 -ноль матрица, то А+О = А. Разность двух матриц определяется как алгебраическая сумма матриц. Матрицу (-1)А называют противоположной матрице А и обозначают –А. Она обладает тем свойством, что А+(-А)=0.
Умножение матрицы на число Матрица С = , элементы которой 1 i m, 1 k n, (сik) равны произведению элементов аik матрицы А на число , называется произведением А на и обозначается αА. Мы имеем cik = аik. Умножение матрицы на число подчиняется следующим законам: α(А+В) = αА+αВ; (α+β)А=αА+βА; (αβ)А=α(βА).
Транспонирование матриц • Если в данной матрице А, поменять местами столбцы и строки, то получают транспонированную матрицу Аt. • Симметричная матрица – это квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной матрицей. А = , At= , aik=aki, 1 i n, 1 k n, то есть At=A.
Умножение матриц Произведение матриц А и В обозначается С=А В. В общем случае А В ≠ В А. • Пусть матрица А= , 1 i m, 1 k n размера m n, B= 1 k n, 1 j p размера n p. • Произведением А В назовем матрицу С= , 1 i m, 1 j p (размера m p), элементы которой определяются по правилу:
Скачать презентацию Алгебра матриц Матрицы Основные определения Действия над
Слайды (лин алгебра 04.09.12г).pptx