АЛГЕБРА ЛОГИКИ раздел математической логики изучающий строение

АЛГЕБРА ЛОГИКИ – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. ОБЪЕКТЫ изучения алгебры логики: ВЫСКАЗЫВАНИЯ. ВЫСКАЗЫВАНИЕ повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. ВЫСКАЗЫВАНИЯ: Некоторые ученики нашей школы – отличники. Спортом заниматься полезно. Все школьники любят информатику. На яблонях растут бананы.

ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПРОСТЫЕ СОСТАВНЫЕ (СЛОЖНЫЕ) A, B, C A И B, A ИЛИ B ПРОСТЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ обозначают прописными буквами. Солнце светит для всех. Все ученики любят математику. Идет дождь. СОСТАВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ на естественном языке образуются с помощью союзов. Я полил цветы И я дочитал книгу. Он приехал вчера ИЛИ он приедет завтра.

Если высказывание А ИСТИННОЕ, то пишем А=1. Если высказывание А ЛОЖНОЕ, то пишем А=0. ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть представлены с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Таблица истинности логического выражения – это таблица, в которой перечислены все возможные сочетания значений переменных, входящих в логическое выражение, и для каждого сочетания приведены значения этого выражения.

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ) ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …» . Естественный язык Алгебра логики Языки программирования A A Not Не Неверно, что… Таблица истинности А А 0 1 1 0 Диаграмма Эйлера-Венна А А

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» . Естественный язык Языки программирования A&B, A B И Алгебра логики And Таблица истинности А В A&B 0 0 1 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна А В

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ) КОНЪЮНКЦИЯ А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе А В A&B – множество отличников, занимающихся спортом

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ образуется соединением высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» . Естественный язык двух Языки программирования A B, A+B, A|B ИЛИ Алгебра логики Or Таблица истинности А В A B 0 0 1 1 1 0 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна А В

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ) ДИЗЪЮНКЦИЯ А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе А В A B – множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота «ЕСЛИ…, ТО…» . Естественный язык Алгебра логики ЕСЛИ…, ТО… A B, A B Таблица истинности А В A B 0 0 1 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна А В

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ (ИМПЛИКАЦИЯ) А = На улице дождь В = Асфальт мокрый A импликация B = Если на улице дождь, то асфальт мокрый

ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…» . Естественный язык Алгебра логики …ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА… A B, A B Таблица истинности А В A B 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Диаграмма Эйлера-Венна А В

ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО (ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ) 396, 122, 451 А = Число делится на 3 без остатка В = Сумма цифр числа делится нацело на 3 A эквивалентно B = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ Инверсия ИСТИННА высказывание ЛОЖНО Дизъюнкция ЛОЖНА Конъюнкция ИСТИННА оба высказывания ЛОЖНЫ ИСТИННЫ Дизъюнкция ИСТИННА Конъюнкция ЛОЖНА Импликация ЛОЖНА Эквивалентность ИСТИННА Тогда и только хотя бы одно высказывание ИСТИННО тогда, ЛОЖНО когда из истинного высказывания следует ложное высказывание оба высказывания ложны или оба высказывания истинны

ЛОГИЧЕСКИЕ СОЮЗЫ (СВЯЗКИ) В естественном языке В логике …И… & … ИЛИ … НЕВЕРНО, ЧТО… А … В ТОМ И ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ … … ЕСЛИ …, ТО … … ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА … … НЕ … А

ПРИОРИТЕТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 1. ИНВЕРСИЯ А 2. КОНЪЮНКЦИЯ & 3. ДИЗЪЮНКЦИЯ 4. ИМПЛИКАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. 4 5 A B C&D A 3 2 1

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и ADOBE PHOTOSHOP ОБЪЕДИНЕНИЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ИНВЕРСИЯ. Меню Выделение | Инвертировать выделение

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и COREL DRAW Меню Arrange | Shaping (Выравнивание | Формат) ОБЪЕДИНЕНИЕ (Weld) ВЫРЕЗАНИЕ (Trim) ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (Intersect) ЗАДНИЙ МИНУС ПЕРЕДНИЙ МИНУС ЗАДНИЙ (Back minus Back) (Front minus Front)

Буквы, обозначающие высказывания (А, В, …), можно рассматривать как имена логических переменных, так как ими можно заменить любые высказывания (с любым содержанием). Логические переменные принимают значения: 0 и 1 ( «истина» и «ложь» ). Логическое выражение – это выражение, содержащее одну или несколько переменных, соединенных знаками логических операций и скобками. (А В) С А = Вы регулярно пользуетесь последними версиями антивирусных программ. В = Вы регулярно сохраняете свои файлы на дискетах. С = Снижается вероятность потери данных. Если вы пользуетесь последними версиями антивирусных программ или регулярно сохраняете свои файлы на дискетах, то снижается вероятность потери данных.

Логическая функция – это функция, определенная на множестве истинностных значений (истина, ложь) и принимающая значение из того же множества. F(A, B) = A B – логическая функция двух переменных – А и В. Набор значений области определения функции: (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Значения функции: F(0, 0)=0; F(0, 1)=1; F(1, 0)=1; F(1, 1)=1. Функцию можно задавать как в табличном виде, так и в виде формулы.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ 1. Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности: Пусть сложное высказывание состоит из n простых высказываний, а количество разных логических операций - k, тогда количество строк – 2 n+2 количество столбцов – n+k 2. Начертить таблицу и заполнить заголовок: 1 строка заголовка – номера столбцов; 2 строка – обозначения переменных и промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций. 1 2 3 4 А В В А&В (2) (1)&(3)

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ 3. Заполнить все возможные комбинации значений переменных: 1 2 3 4 А В В А&В (2) (1)&(3) 0 0 0 1 1

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ 4. Заполнить остальные столбцы в соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций: 1 2 3 4 А В В А&В (2) (1)&(3) 0 0 1 1 1 1 0 0

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ fx

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ЗАДАНИЕ 1 Создайте в MS Excel таблицы истинности логических операций. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B не A не B A B A B (1) (2) A&B (1)&(2) (1) (2) & - встроенная функция ИЛИ = ЕСЛИ(И(А 3=ИСТИНА; В 3=ЛОЖЬ); ЛОЖЬ; ИСТИНА) = ЕСЛИ(A 3=B 3; ИСТИНА; ЛОЖЬ)

ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ ПРОВЕРКА ЗАДАНИЕ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 A B не A (1) не B (2) A&B (1)&(2) A B (1) (2) ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 2 Выполните тестовое задание: Рабочий стол | 10 класс | тест. xls Результаты выполнения тестового задания сохраните в своей личной папке.