АЛГЕБРА ЛОГИКИ. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Содержание Основы математической логики: История развития математической логики Алгебра высказываний: Определение Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Эквивалентность Импликация Логические элементы (приложение)
Г. В. Лейбниц (1646 -1716) Великий немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 1716) разработал в 1666 г. (в двадцатилетнем возрасте) общий метод, позволяющий свести любую мысль к точным формальным высказываниям. Это открыло возможность перевести логику (Лейбниц называл ее законами мышления) из царства слов в царство математики, где отношения между объектами и высказываниями точны и определенны. Таким образом, Лейбниц стал осно вателем формальной логики. Он занимался исследованием двоичной системы счисления, наделяя ее неким мистическим смыслом: цифру 1 он ассоциировал с Богом, а 0 с пустотой. Из этих двух цифр, по мнению Лейбница, произошло все и с их помощью можно выразить любое математическое понятие. Лейбниц первым высказал мысль о том, что двоичная система может стать универсальным логическим языком.
Джордж Буль (1815 -1864) Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 году английский математик Джордж Буль (1815 1864), построив алгебру логики, названную в его честь булевой. Основными разделами современной математической логики (её классического варианта) являются логика высказываний, идущая от Дж. Буля. Современный вид математическая логика приобрела в 1880 е годы в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге (1848 1925). Он дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов и сделал попытку свести математику к логике . Г. Фреге (1848 -1925)
Высказыванием называется повествовательное предложение, которое является или может оказаться либо истинным, либо ложным. Причём оно не может быть истинным и ложным одновременно. Говорят, что истинное высказывание имеет логическое значение "истина", а ложное - "ложь". В математике логические значения "истина" и "ложь" обозначают обычно буквами И и Л, соответственно. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. На земном шаре три магнитных полюса. треугольника равна 180 гр Алгебра высказываний или булева алгебра рассматривает способ образования одних высказываний из других, более простых, с помощью так называемых логических операций.
Пусть А и В обозначают некоторые произвольные высказывания. Обычно в логике рассматривают следующие логические операции над этими высказываниями: Краткое прочтение Полное прочтение полученного высказывания Название операции полученного высказывания ¬A отрицание не А. неверно, что А. A Щ B конъюнкция A и B. верно, что A, и верно, что B. A Ъ B дизъюнкция A или B. A « B эквивалентность A тогда и только тогда, когда B. A эквивалентно B. A ® B импликация A называется условием, а B - следствием если A, то B. A влечёт Операция верно, что A, или верно, что B. верно, что A, тогда и только тогда, когда верно, что B.
Следующие таблицы определяют, какие значения принимают высказывания, полученные с помощью этих операций, если исходные высказывания A и B принимают значения И или Л. Такая таблица называется истинностной: Отрицание- отрицанием высказывания А является сложное высказывание А, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. А ¬А И Л Л И
(логическое умножение, И) двух высказываний А и В представляет собой сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания А и В - А В И И Л Л Л И Л Л
- (логическое сложение, ИЛИ) двух высказываний А и В является сложным высказыванием, которое истинно, когда хотя бы одно из слагаемых А и В истинно А В АVВ И И Л Л Л
(равнозначность) двух высказываний А и В обозначается символом « » (иногда - «~» ). Значение истинности эквивалентных высказываний А и В определяется в зависимости от значений истинности исходных высказываний по следующим соотношениям: А В И И Л Л Л И
двух высказываний обозначается символом «>» (если А, то В) или стрелкой: « » . А В И И Л Л Л
Скачать презентацию АЛГЕБРА ЛОГИКИ ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Содержание Основы
Логика , высказывания .ppt