Алгебра логики Логика — наука о законах

Алгебра логики • Логика - наука о законах и формах мышления (понятие, высказывание, умозаключение). • Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями. Джордж Буль -английский математик и логик. Заложил основы алгебры логики, которая получила его название (Булева алгебра)

Высказывание (суждение) • это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. • Может принимать значения: – истина (1) – ложь (0) • Обозначаются именами логических переменных (A, B, C)

• Истина, ложь – логические константы. • Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операции. • Правила выполнения логической операции отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности.

Логические операции • Конъюнкция ( логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и ∧. А В А^В 0 0 1 1 1 А – У меня есть знания для сдачи зачета. В – У меня есть желание для сдачи зачета. A&B – У меня есть знания и желание для сдачи зачета. Конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна

Логические операции • Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V. А В АVВ 0 0 1 1 1 0 1 1 A - Летом я поеду в лагерь. B – Летом я поеду в к бабушке. AVB - Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке. Дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

Логические операции • Отрицание или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО, обозначается символом ¬ , ¯. А ¬А 0 1 1 0 Если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Логические операции • Импликация - логическая операция, соответствующая союзу «если. . . , то. . . » . Обозначается с помощью символа → А В А→В 0 0 1 1 1 Импликация высказываний ложна лишь в случае, когда А истинно, а В ложно.

Логические операции • Эквивалентность - логическая операция, соответствующая союзу «тогда и только тогда, когда …» . Обозначается с помощью символа ↔ А В А↔В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Эквивалентность двух высказываний истинна в том и только том случае, когда оба эти высказывания истинны или ложны. .

Приоритет логических операций: • • инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация и эквивалентность.

Задание Построить таблицы истинности для следующих выражений: • AVBVC • AVB∧C • A ∧ B∧C • ¬(AVB) • ¬(AVBVC) • ¬(A ∧ B)

Законы алгебры логики • законы идемпотентности: – x x = x • • x 1 = x x 1 = 1 x 0 = 0 x 0 = x x x = 0 – закон противоречия x x = 1 – закон исключения третьего x = x – закон снятия двойного отрицания законы поглощения – x (y x) = x

• (x y) = (x y) (y x) • x y = x y • законы Де Моргана – (y x) = y x • «Штрих Шеффера» - операция, с помощью которой можно представить любую логическую связку. • x = x | x • x y = (x | y) | (x | y) • x | y = (x y) А В А|В 0 0 1 1 1 0

• коммутативные законы – х y = y х • дистрибутивные законы – х (y z) = (х y) (х z) • ассоциативные законы – х (y z) = (х y) z