АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Поверхности Беленький Павел Павлович кандидат педагогических наук, доцент кафедры ОНП
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Поверхности Определение. Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности S, в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности S удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности S, этому уравнению не удовлетворяют. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами (x; y; z) не удовлетворяет уравнению x 2+y 2+z 2= – 1. Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями. Например, если в уравнении поверхности S в правой части стоит нуль: F(x, y, z)=0, то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить (F(x, y, z))2=0. Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности, хотя будет выглядеть по другому.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости Заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны другу. Определение 11. 2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости Теорема. Пусть вектор n=(A, B, C), n≠ 0, является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку M 0(x 0, y 0, z 0). Тогда уравнение A(x-x 0) + B(y-y 0) + C(z-z 0) = 0 является уравнением плоскости П. Доказательство. Пусть M(x, y, z) – некоторая точка плоскости П. Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости Вектор лежит на плоскости П. Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку Q, не лежащую на плоскости П, то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то условием того, что точка М лежит в плоскости П, является выполнение равенства Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей, получим формулу Что и требовалось доказать.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости Пусть r – радиус-вектор текущей точки М плоскости П, r 0 – радиусвектор точки M 0 Тогда можно записать Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости П. Раскроем скобки в уравнении плоскости. Подставим координаты точки М 0 в уравнение плоскости. Полученное число обозначим буквой D. Уравнение плоскости принимет вид (3) Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов А, В и С отличен от нуля, так как n ≠ 0.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости Теорема. Всякое уравнение (3), в котором является уравнением плоскости, ортогональной вектору n=(A, B, C). Эта теорема позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Пример 11. 1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0(1, 2, -2) и параллельной векторам p=(1, 2, -1) и q=(-2, 0, 3). Решение. Векторное произведение pxq ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор n= pxq можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n: Используя формулу (1), получим Раскрыв скобки, приходим к окончательному ответу:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости 1 Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля Находим точки пересечения плоскости с осями координат Например, пусть требуется построить плоскость, заданную уравнением. Треугольник с вершинами М 1(3, 0, 0), М 2(0, 2, 0) и М 3(0, 0, -6) и будет "изображением" плоскости: Еще раз подчеркнем, что плоскость тянется бесконечно во все стороны за нарисованные линии, ограничивающие треугольник.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости 2 Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю В этом случае плоскость проходит через начало координат и других точек пересечения с осями нет. Для изображения такой плоскости нарисуем линии ее пересечения с двумя координатными плоскостями. Например, пусть требуется построить плоскость 6 x-2 y+z=0. На плоскости x. Oy все точки имеют третью координату, равную нулю: z=0. В результате на плоскости x. Oy линия пересечения с исходной плоскостью задается уравнением 6 x-2 y=0, то есть y=3 x. Эта прямая проходит через точки О(0; 0) и М 1(1; 3), эти координаты даны на плоскости x. Oy, а не в пространстве. Аналогично находим пересечение исходной плоскости с плоскостью y. Oz, на которой у каждой точки первая координата равна нулю: х=0. Получаем -2 y+z=0, откуда z=2 y. Данная прямая проходит через точки О(0; 0) и М 2(1; 2) в плоскости y. Oz. Проводим ее. Концы изображений прямых соединим какойнибудь линией. Получим "изображение" искомой плоскости.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Свободный член равен нулю
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости 3 Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю). Пусть, например, коэффициент перед y равен нулю, то есть плоскость имеет уравнение Ax+Cz+D=0. Тогда ее нормальный вектор имеет координаты n=(A; 0; C). На оси Oy (оси отсутствующего переменного) лежит вектор j=(0; 1; 0). Находим скалярное произведение этих векторов: nj=A· 0+0· 1+C· 0=0. Равенство нулю скалярного произведения означает, что ось Oy ортогональна нормальному вектору плоскости и, следовательно, сама параллельна исходной плоскости, что нам требовалось доказать. Для изображения плоскости, в уравнении которой один из коэффициентов при неизвестных равен нулю, находим ее пересечение с непараллельными ей осями. Получившиеся две точки соединяем отрезком и через эти же две точки проводим прямые, параллельные оси осутствующего переменного. Построим, например, плоскость 2 x+3 y=6. Плоскость параллельна оси Oz. Получаем точки М 1(3; 0; 0), М 2(0; 2; 0). Чертим отрезок М 1 М 2 и прямые, проходящие через точки М 1, М 2 и параллельные оси Oz.
Коэффициент при переменном равен нулю АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Коэффициент при переменном z равен нулю
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости 4 Два коэффициента при переменных равны нулю Плоскость должна быть параллельна каждой из осей отсутствующих переменных и, следовательно, параллельна координатной плоскости, содержащей эти оси. Тогда можно найти точку M пересечения исходной плоскости с осью переменного, явно присутствующего в ее уравнении, и провести через нее прямые, параллельные двум другим осям. Например, построим изображение плоскости 2 z=3. Плоскость параллельна оси Ox и оси Oy. Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости x. Oy. Находим точку пересечения исходной плоскости с осью Oz. Проводим через точку M две прямые, параллельные осям Ox и Oy соответственно. Получаем изображение плоскости
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Два коэффициента при переменных равны нулю
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Упражнение 1. Постройте плоскость Упражнение 2. Постройте плоскость Упражнение 3. Постройте плоскость Упражнение 4. Постройте плоскость
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Упражнение 1. Искомая плоскость
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Упражнение 2. Искомая плоскость
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Упражнение 3. Искомая плоскость
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Изображение плоскости Упражнение 4. Искомая плоскость
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Угол между плоскостями Пусть плоскости П 1 и П 2 заданы соответственно уравнениями Требуется найти угол φ между этими плоскостями. Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Угол между плоскостями Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку М на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры l 1, l 2 к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы n 1, n 2 плоскостей П 1 и П 2 с началами в точке М. Если через точку М провести плоскость П, перпендикулярную линии пересечения плоскостей П 1 и П 2 , то прямые l 1, l 2 и изображения векторов n 1, n 2 будут лежать в этой плоскости.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Угол между плоскостями Сделаем чертеж в плоскости П, возможны два варианта: Угол между нормальными векторами острый Угол между нормальными векторами тупой следовательно, угол ψ В одном варианте ; между нормальными векторами равен углу φ, являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями П 1 и П 2.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Угол между плоскостями Так координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей: n 1 n 2=0. Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей n 1=tn 2, где t – любое вещественное число.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Расстояние от точки до плоскости Теорема. Пусть плоскость П задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка М 0(x 0, y 0, z 0). Тогда расстояние р от точки М 0 до плоскости П определяется по формуле: (*)
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая на плоскости Все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Если прямая имеет уравнение Ax+By+C=0, то расстояние от точки М 0(x 0, y 0) до этой прямой получается из формулы (*) отбрасыванием третьей координаты Теорема. Пусть заданы две прямые y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 , k 2 >k 1. Тогда, если k 2 k 1≠-1, то угол между этими прямыми можно найти из формулы Если k 2 k 1=-1, то прямые перпендикулярны.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений. (**) И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему. Уравнения (**) называют пространстве. общими уравнениями прямой в Замечание. Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы (**) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение – это уравнение плоскости.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему (**) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты. Пример 11. 2 Требуется найти какую-нибудь точку М на прямой Решение. Положим z=– 4. Получим систему Решая ее, находим х=– 2. 25; y=– 6. 75 Ответ: М(– 2. 25; – 6. 75; – 4).
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Можно задать прямую в пространстве и другим способом. Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой. Пусть для некоторой прямой γ известны ее направляющий вектор p=(k; l; m) и точка М 0(x 0, y 0, z 0) , лежащая на этой прямой. Пусть М(x, y, z) произвольная (текущая) точка прямой γ. Обозначим через r 0, r радиус-векторы точек М 0 и М соответственно.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Тогда вектор М 0 М коллинеарен вектору p и, следовательно, М 0 М=tp, где t - некоторое число. Из рис. видно, что r=r 0+tp. Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра t мы будем получать новую точку М на прямой γ.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Замечание. Если в качестве параметра t взять время, то точка M будет двигаться по прямой со скоростью lpl , причем в момент времени t=0 ее положение совпадает с точкой М 0. Вектор скорости точки совпадает с вектором p. От векторного соотношения r=r 0+tp перейдем к соотношениям координат. Так как (x; y; z) координаты точки M , то r=(x; y; z), r 0=(x 0, y 0, z 0), tp=(tk; tl; tm). Из формулы r=r 0+tp получим Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой. По параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части – координаты точки на прямой.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки М 0 можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга. Из уравнений выразим параметр t: Так как во всех трех соотношениях параметр t имеет одно и то же значение, то Эти уравнения называются каноническими 1 уравнениями прямой.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Прямая в пространстве Замечание. В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты, из которых одна нулевая. Пример. Прямая с каноническими уравнениями имеет направляющий вектор p=(1; 2; 0). Замечание. Канонические уравнения прямой нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений Возможны еще две записи системы, подумайте какие.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу. Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки М 0 на прямой, мы уже обсуждали. Направляющий вектор можно найти двумя способами. Во-первых, можно найти координаты другой точки М 1 на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор М 0 М 1. Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы n 1 и n 2 плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам n 1 и n 2 , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить p=n 1 xn 2.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Пример 11. 4 Прямая задана уравнениями Требуется написать ее параметрические уравнения. Решение. Найдем какую-нибудь точку М 0 на прямой. Положим z=0. Система примет вид Решая ее, находим Таким образом, на прямой лежит точка Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы , являются Положим Тогда Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения. Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее. Пример. Найдите точку пересечения прямой и плоскости Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем y через x. Из второго z через x. Найденные выражения для y и z подставляем в третье уравнение и находим x. Ответ: Следующие две задачи связаны с нахождением угла. 1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми. Угол φ между прямыми – это угол между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол (cos >0), или φ= – , если – тупой угол (cos <0). Во втором случае cosφ= –cos = lcos l. Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы p 1 и p 2 прямых. Тогда а искомый угол φ определяется из равенства
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость 2. Даны уравнение плоскости П и уравнения прямой . Требуется найти угол φ между прямой и плоскостью. , По определению, угол между прямой и плоскостью -- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость Пусть угол между нормальным вектором n плоскости П и направляющим вектором p прямой . Тогда либо . В обоих случаях , а так как то
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Пример. Найдите точку относительно прямой : M 1, симметричную точке M(1; -2; 1) (*) Решение. Найдем сначала проекцию M 0 точки M на прямую . Для этого напишем уравнение плоскости П, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой , а затем найдем точку M 0, являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой. Плоскость, перпендикулярная прямой , параллельна нормальным векторам n 1 и n 2 плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (*). Поэтому нормальный вектор плоскости, перпендикулярной прямой , можно взять равным n 1 xn 2: n 1=(1; 1; 0), n 2=(1; – 1).
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость Уравнение плоскости П . Находим точку М 0 Решение этой системы: x=2; y=-1; z=1; M(2; -1; 1) Пусть M 1(x; y; z) - искомая точка. Тогда из рисунка видно, что Находим Тогда откуда x=3, y=0, z=1. Ответ: M 1(3; 0; 1; ). , то есть
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Задачи на прямую и плоскость
Скачать презентацию АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Поверхности Беленький Павел Павлович кандидат
Поверхности.ppt