АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы Беленький Павел Павлович кандидат

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы Беленький Павел Павлович кандидат педагогических наук, доцент кафедры ОНП

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел aij, i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n, расположенных в m строках и n столбцах: Числа aij называются элементами матрицы. Матрица может быть записана так: А=(aij)= || aij ||.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Матрица - строка (или строковая матрица) A=(a 11 a 12 . . . an) Матрица - столбец (столбцевая матрица) Матрица, состоящая из одного элемента A=(a 11)1× 1=a 11 Матрица ∅ называется нулевой, Нулевая матрица если все ее элементы равны нулю. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов (m=n), при этом число n называется порядком матрицы. Главной диагональю квадратной матрицы порядка n называется диагональ, составленная из элементов a 11, a 22, …, ann, идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов a 1 n, a 2 n-1, …, an 1, идущая из правого верхнего угла этой матрицы в левый нижний угол.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Диагональная матрица В Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, т. е. aii≠ 0, aij =0 при i≠j. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Единичная матрица

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Равные матрицы Не равные матрицы Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы совпадают.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Операции над матрицами Сумма матриц Свойства операции сложения двух матриц A + B = B + A; (A + B) + C = A + (B + C) A+O = O+A =A A+(-A)=(-A)+A=O

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Операции над матрицами Произведение матрицы A=(aij) на число k есть такая матрица C=(cij), у которой (cij) = (kaij), для i, j: i-1, 2, …, m; j=1, 2, …, n Свойства операции произведения матрицы A на число k. A=Ak; k(A+B)=Ak+Bk; (k+λ)A=Ak+Aλ; k(λA)=λk. A=λ(k. A) 1 А=А -1 А=-А 0 А=Ǿ где Ǿ - нулевая матрица

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Операции над матрицами Произведение матрицы C = A·B = (aij)m×p·(bij)p×n=(as 1 b 1 k+as 2 b 2 k+. . . +askbsk)m×n=(cij)m×n 1 2 3 1 2 3 1· 2+2· 4+3· 6 1· 1+2· 3+3· 5 1 2 3 28 22 4 5 6 4 5 6 4· 2+5· 4+6· 6 4· 1+5· 3+6· 5 4 5 6 64 49 3 2 1 3 2 1 3· 2+2· 4+1· 6 3· 1+2· 3+1· 5 3 2 1 20 14 2 1 4 3 6 5

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. А × Е = Е × А = А 7. AB ≠ BА Если AB = BA, то такие матрицы A и B называют перестановочными или коммутативными.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается AТ, при этом (АВ)Т = ВТАТ; (АВС)Т = СТВТАТ; (А + В)Т = АТ + ВТ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Если выполняется равенство A = AТ, то такая матрица называется симметрической. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA-1 = A-1 A = E. Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Основные определения и виды матриц. Свойства обратной матрицы (AB) − 1 = B − 1 A − 1 для любых двух обратимых матриц A и B. (AT) − 1 = (A − 1)T где * T обозначает транспонированную матрицу. (k. A) − 1 = k − 1 A − 1 для любого коэффициента. Определение. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой Δk называется минором k–го порядка матрицы A. Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы Решение.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Ранг матрицы. Определение 7. Если матрица A не нулевая, т. е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что 1. у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δr ≠ 0; 2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = Rg. A. Из определения 7 вытекает, что 1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r ≤ min(m, n); 2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. aij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = Rg. A = 0. Иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матрицы. Ранг матрицы. Пример. Найти ранг матрицы Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то Rg. A=1. Пример. Найти ранг матрицы Решение. Найдем детерминант этой матрицы: det. A=7. Так как он отличен от нуля, значит, ранг матрицы равен 3. Пример. Найти ранг матрицы Решение. Очевидно, что det. A=0, т. к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора следовательно, делаем вывод, что Rg. A = 2.

0. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т. е. det. A ≠ 0. Вычисление обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу Предположим, что А 0. Построим матрицу С следующим образом: где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А.

0. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать. Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А. Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на А, т. е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:

0. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. Для нахождения матрицы А-1, обратной матрице А, необходимо: 1. вычислить определитель матрицы А; 2. найти алгебраические дополнения элементов аij в определителе матрицы А; 3. составить присоединённую матрицу С по формуле (2); 4. разделить все элементы матрицы С на А. Пример: Найти обратную матрицу для матрицы А:

0. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.

0. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы. В результате проделанных действий получим: А 11= -45, А 12= 20, А 13=1, А 14=-17, А 21=63, А 22= -31, А 23=1, А 24=25, А 31= -6, А 32=3, А 33=0, А 34= -3, А 41=12, А 42= -5, А 43= -1, А 44=5. Найдём матрицу А-1, обратную для А. -45 63 -6 12 20 -31 3 -5 А-1 = -1/3 1 1 0 -1 -17 25 -3 5

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Найти обратную матрицу Решение

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Обратная матрица. Вычислить Вычисляем определитель этой матрицы: Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов: Cоставляем из них матрицу: и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матричные уравнения

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов. Определение. В матрице порядка m n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т. е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А. Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы. Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Т. к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы. Пример. Определить ранг матрицы. Пример: Определить ранг матрицы.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Пример. Определить ранг матрицы. Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и det. A = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений: A X = B. Сделаем следующее преобразование: A-1 A X = A-1 B, т. к. А-1 А = Е, то Е Х = А-1 В Х = А-1 В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матричный метод решения систем линейных уравнений. Пример. Решить систему уравнений: Найдем обратную матрицу А-1.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матричный метод решения систем линейных уравнений. Cделаем проверку:

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Матричный метод решения систем линейных уравнений. Находим матрицу Х. Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704 -1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т. е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A 0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704 -1752) швейцарский математик) Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/ , где = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704 -1752) швейцарский математик) Пример. Найти решение системы уравнений:

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704 -1752) швейцарский математик)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704 -1752) швейцарский математик) Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом. Если система однородна, т. е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = xn = 0. При = 0 система имеет бесконечное множество решений.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений. Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: , (1) где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А = называется матрицей системы,

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. а матрица А*= называется расширенной матрицей системы Определение. Если b 1, b 2, …, bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем. К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х. Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы) (Леопольд Кронекер (1823 -1891) немецкий математик) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Rg. A = Rg. A*.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т. е. переход А А* не изменяют ранга. 2) Если Rg. A = Rg. A*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Пример. Определить совместность системы линейных уравнений: A = ~ Rg. A = 2. A* = Rg. A* = 3. Система несовместна.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Решение произвольных систем линейных уравнений. Пример. Определить совместность системы линейных уравнений. ; А = ; = 2 + 12 = 14 0; Rg. A = 2; A* = ; Rg. A* = 2. Система совместна. Решения: x 1 = 1; x 2 =1/2.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855) немецкий математик) Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Составим расширенную матрицу системы. А* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде: , откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855) немецкий математик)